Wigglyhedra: Forme Geometriche che Fanno le Onde!

Avete presente i poliedri classici, tipo cubi e piramidi? Belli, ordinati, un po’ seriosi. E se vi dicessi che c’è un mondo di forme geometriche che amano… ‘ondulare’? Sì, avete capito bene! Oggi vi porto alla scoperta dei Wigglyhedra (un nome che già la dice lunga, no?), creature matematiche affascinanti che nascono da concetti apparentemente semplici ma che si rivelano di una ricchezza sorprendente.

Immaginate una serie di punti allineati su una retta orizzontale. Ora, iniziamo a tracciare degli archi che collegano questi punti. Ma non archi qualunque! Questi sono “archi ondulati” (wiggly arcs), curve che, partendo da un punto i e arrivando a un punto j, decidono se passare sopra o sotto ciascun punto intermedio. Un po’ come un surfista che cavalca le onde, ma su una linea retta!

Ma cosa sono esattamente queste “stranezze ondulatorie”?

La prima cosa da capire è che non tutti gli archi ondulati possono convivere pacificamente. Due archi sono compatibili se rispettano due regolette d’oro: devono essere “puntati” (l’inizio di uno non può coincidere con la fine dell’altro) e non devono incrociarsi (le loro parti interne devono rimanere separate). Quando mettiamo insieme una collezione di archi ondulati tutti compatibili tra loro, otteniamo una dissezione ondulata. Se questa collezione è massimale, cioè non possiamo aggiungere nessun altro arco compatibile senza creare scompiglio, allora abbiamo una pseudotriangolazione ondulata.

Pensate a queste pseudotriangolazioni come a delle “mappe” speciali. L’insieme di tutte le possibili dissezioni ondulati (escludendo gli archi più esterni, per tecnicismi) forma una struttura chiamata complesso ondulato (wiggly complex, WC_n). Questo complesso è una sorta di “spazio” le cui “stanze” di massima dimensione sono proprio le nostre pseudotriangolazioni ondulati. E, come in molti giochi di costruzione, possiamo passare da una pseudotriangolazione all’altra attraverso una mossa chiamata “flip”: sostituiamo un arco con un altro, mantenendo la compatibilità. Ogni pseudotriangolazione ondulata ha esattamente 2n-1 archi interni (dove n è legato al numero di punti), e ognuno di questi archi può essere “flippato”.

Un pizzico di ordine nel caos: permutazioni e reticoli “ondulati”

Ora, tenetevi forte, perché la storia si fa ancora più interessante. Possiamo collegare queste strutture geometriche al mondo delle permutazioni. Esistono delle permutazioni speciali, chiamate permutazioni ondulate (wiggly permutations), che evitano certi “schemi” o “pattern” al loro interno. Queste permutazioni, quando ordinate secondo una relazione chiamata “ordine debole”, formano una struttura algebrica nota come reticolo ondulato (wiggly lattice, WL_n).

La vera magia? Il grafico dei flip tra le pseudotriangolazioni ondulati (orientato in un certo modo, chiamato wiggly increasing flip graph, WIFG_n) è isomorfo al diagramma di Hasse del reticolo ondulato! In pratica, c’è una corrispondenza biunivoca perfetta tra queste configurazioni di archi e queste permutazioni ordinate. Questo significa che il modo in cui navighiamo tra le pseudotriangolazioni ha una struttura matematica elegante e profondamente ordinata. Non è fantastico? Pensateci: un modo per navigare tra queste complesse configurazioni di archi ha una struttura matematica elegante e ordinata!

Questa connessione ci permette di dotare le pseudotriangolazioni ondulati di una struttura di reticolo, con un elemento minimo e uno massimo, e di capire meglio le relazioni tra di esse.

Dagli archi ai poliedri: la nascita del Wigglyhedron

E i poliedri promessi? Ci stiamo arrivando! Per costruire il nostro Wigglyhedron (W_n), dobbiamo introdurre altri strumenti matematici. A ogni arco ondulato interno associamo un vettore speciale, chiamato g-vettore. Questi vettori vivono in uno spazio matematico di dimensione 2n (per essere precisi, in un iperpiano di esso).

L’insieme dei coni generati dai g-vettori delle pseudodissezioni ondulati forma una struttura geometrica chiamata ventaglio ondulato (wiggly fan, WF_n). Immaginate tanti coni con il vertice in comune che riempiono lo spazio senza sovrapporsi, se non lungo le loro facce. Questo ventaglio è una realizzazione geometrica del complesso ondulato che abbiamo visto prima.

E qui arriva il bello! Questo ventaglio ondulato è il “ventaglio normale” di un politopo. Un politopo è la generalizzazione di un poligono o di un poliedro a più dimensioni. E il politopo in questione è proprio il nostro protagonista: il Wigglyhedron! Possiamo definirlo in due modi equivalenti:

• Come l’intersezione di semispazi, dove ogni semispazio è definito da un g-vettore e da una certa “altezza” (calcolata tramite una funzione chiamata k).
• Come l’inviluppo convesso di un insieme di punti, dove ogni punto corrisponde a una pseudotriangolazione ondulata (e le sue coordinate sono date dai cosiddetti c-vettori, duali ai g-vettori).

Incredibilmente, anche il grafico degli spigoli del Wigglyhedron, se orientato in una direzione opportuna, è isomorfo al diagramma di Hasse del reticolo ondulato. Quindi, il reticolo che descrive le relazioni tra le pseudotriangolazioni è “scolpito” nella geometria stessa del Wigglyhedron!

Oltre la linea retta: connessioni e orizzonti aperti

I Wigglyhedra non sono creature isolate nell’universo matematico. Hanno connessioni affascinanti con altre strutture. Per esempio, i cosiddetti reticoli Cambriani e gli associaedri Cambriani (che sono altri tipi di poliedri legati alla combinatoria) possono essere visti come “intervalli” nel reticolo ondulato o come “facce” del Wigglyhedron, opportunamente interpretati. È come scoprire che il tuo giocattolo preferito contiene al suo interno, in piccolo, altri giocattoli famosi!

Una delle grandi domande aperte è se possiamo estendere questa costruzione. E se i punti iniziali non fossero allineati su una retta, ma sparsi nel piano in una configurazione qualsiasi? Si può definire un “complesso ondulato” anche per questi insiemi di punti. La congettura forte è che anche in questo caso più generale, il complesso ondulato sia il complesso di bordo di un politopo simpliciale. Se fosse vero, sarebbe un risultato notevole, unificando i Wigglyhedra con altri poliedri noti come i “politopi di pseudotriangolazione” che si usano per punti in posizione generale.

Ci sono anche altre direzioni di ricerca: si possono interpretare dualmente le pseudotriangolazioni ondulati in termini di “arrangiamenti di pseudolinee”? Si possono estendere a “multi-complessi ondulati” o a gruppi di Coxeter finiti arbitrari (che sono generalizzazioni dei gruppi di simmetria)? E, una domanda che affascina sempre i combinatoristi: il grafico dei flip dei Wigglyhedra ammette un cammino Hamiltoniano, cioè un percorso che visita ogni vertice esattamente una volta?

Un linguaggio più profondo: l’interpretazione categoriale

Per chi tra voi ama l’astrazione spinta, c’è un’interpretazione ancora più profonda e, se possibile, più elegante dei nostri archi ondulati. Entra in gioco la teoria delle categorie, un linguaggio matematico che studia le strutture e le relazioni tra di esse.

Si scopre che ogni arco ondulato corrisponde a un “oggetto” in una particolare categoria abeliana (legata a certe algebre chiamate “algebre zigzag”). Le “morfismi” e le “estensioni” tra questi oggetti nella categoria catturano le informazioni sulle intersezioni tra gli archi ondulati. In particolare, due archi ondulati sono compatibili (nel senso che abbiamo definito all’inizio: puntati e non incrocianti) se e solo se non ci sono “estensioni” tra gli oggetti corrispondenti nella categoria.

Pensate che una curva generica nel piano (non necessariamente monotona rispetto all’ascissa) può essere “tagliata” lungo le sue “inversioni a U” per ottenere una collezione di archi ondulati. Questa operazione di “taglio” ha un’interpretazione categoriale precisa: corrisponde alla decomposizione di un oggetto della categoria (più grande, triangolata) nelle sue “parti di coomologia”. E l’insieme degli archi ondulati che otteniamo forma una faccia del complesso ondulato!

Questa prospettiva categoriale non solo fornisce una comprensione più profonda della struttura dei Wigglyhedra e dei complessi ondulati, ma apre anche la porta a generalizzazioni e connessioni con altre aree della matematica, come la teoria delle rappresentazioni e l’algebra omologica. È come scoprire che le regole di un gioco apparentemente semplice sono in realtà espressione di leggi fisiche universali.

I Wigglyhedra sono quindi molto più di una semplice curiosità geometrica. Sono un crocevia di idee provenienti dalla combinatoria, dalla geometria poliedrale e dalla teoria delle categorie. Rappresentano un esempio affascinante di come la matematica trovi connessioni sorprendenti tra concetti apparentemente distanti, rivelando una bellezza e una coerenza interna che non smettono mai di stupire. E chissà quali altre “onde” ci riserveranno in futuro!

Fonte: Springer