Un Tuffo nell’Universo V: Alla Ricerca della Verità Matematica Assoluta

Amici matematici e curiosi del sapere, vi siete mai chiesti se l’Ipotesi del Continuo sia vera o falsa? Una domanda che scuote le fondamenta della matematica da decenni. Ebbene, per affrontare un simile quesito, dobbiamo prima metterci d’accordo su cosa sia la “Verità Matematica”. Sì, perché, come ci hanno insegnato Gödel e Cohen, i soli assiomi ZFC della Teoria degli Insiemi non bastano a darci una risposta definitiva sull’Ipotesi del Continuo. Ed è qui che entro in gioco io, o meglio, la mia prospettiva preferita: la V-view.

Voglio parlarvene in modo un po’ scanzonato, più da matematico a matematico (o aspirante tale!) che da filosofo accademico. Perché, diciamocelo, vista attraverso le lenti di un matematico, la faccenda diventa molto più intrigante e meno ingarbugliata. Con la V-view, preparatevi, perché l’Ipotesi del Continuo HA una risposta, così come tutte le altre questioni formali della Teoria degli Insiemi!

Cos’è esattamente questa V-view?

In parole povere, la V-view è la convinzione che esista un Universo degli Insiemi, che chiamiamo affettuosamente V. E se V esiste, allora tutte le affermazioni formali che possiamo scrivere nel linguaggio della Teoria degli Insiemi hanno un valore di verità ben definito: o sono vere, o sono false. Punto. Se poi questo V sia indipendente da qualsiasi realtà fisica è un’altra storia, un dibattito sulla natura della realtà fisica che possiamo lasciare per un altro caffè.

Qualcuno potrebbe storcere il naso, tirando fuori il “problema di identificazione di Benacerraf”, che critica l’idea analoga della N-view per la Verità Aritmetica (quella dei numeri naturali, per intenderci). Il problema è che non c’è un modo unico di rappresentare i numeri interi come insiemi. Ma sapete che vi dico? Respingo l’obiezione! Semplicemente perché la V-view ci fornisce una base solida e inequivocabile per la visione strutturalista della verità matematica in tutte le altre aree della matematica, tranne la Teoria degli Insiemi stessa. Lo Strutturalismo Matematico, infatti, sostiene che le affermazioni matematiche hanno valori di verità definiti, ma solo nel contesto matematico in cui vengono interpretate. In questo senso, la V-view gioca un ruolo fondazionale cruciale.

L’idea che debba esistere una concezione uniforme della Verità Matematica per tutte le branche della matematica, secondo me, è fonte di un sacco di confusione. Abbracciando la V-view, invece, questa nebbia filosofica si dirada.

La V-view contro lo Strutturalismo Universale

Se applichiamo lo Strutturalismo in modo uniforme a tutta la matematica, ci scontriamo con due problemi fondamentali:

• Qual è l’insieme delle affermazioni formali a cui si applica questa visione?
• Qual è il contesto effettivo in cui queste affermazioni vengono interpretate?

Prendiamo la Teoria dei Numeri e la Verità Aritmetica. Quali sono le affermazioni logiche che hanno un valore di verità definito? E qual è il contesto? Sono solo quelle dimostrabili a partire dagli Assiomi di Peano (PA)? Se sì, allora cambiando gli assiomi, cambiano le verità. Questa versione dello Strutturalismo diventa puro formalismo tradizionale. Ma resta il problema di definire l’insieme di tutte le possibili affermazioni formali. L’unica soluzione razionale sembra essere adottare la N-view (usando la numerazione di Gödel per le affermazioni logiche), che, come dicevo, è una sorta di V-view ristretta ai numeri naturali.

In breve, lo Strutturalismo si basa implicitamente sulla N-view, a meno che non si limitino esplicitamente le affermazioni a cui si applica. Una versione di questa limitazione è quella che chiamo la LEAN-view, di cui parleremo tra poco.

C’è poi il famoso problema dell’accesso: come possiamo noi, esseri finiti, avere accesso a questo immenso Universo V? Beh, lo stesso problema vale per la N-view. Quindi, quale sarebbe la base razionale per accettare la N-view e rifiutare la V-view? Anzi, c’è un’asimmetria fondamentale: la V-view fa affermazioni falsificabili sulla visione strutturalista della Teoria dei Numeri (ad esempio, che gli assiomi ZFC non implicano una contraddizione, che è un’affermazione formale nel contesto della Teoria dei Numeri). Al contrario, la N-view non fa affermazioni falsificabili sulla visione strutturalista della Teoria degli Insiemi.

Scenari Fantascientifici (ma non troppo) per Accedere a V

L’obiezione principale alla V-view è: se non possiamo accedere a V, che senso ha credere nella sua esistenza? Ma è davvero un’obiezione razionale? Consideriamo alcuni scenari, e le loro infinite variazioni:

• Lo Scenario dell’Essere Supremo: Esiste un Essere Supremo che ha accesso a V, e noi abbiamo accesso a Lui. Semplice, no?
• Lo Scenario della Teoria del Tutto (TOE): La tanto agognata Teoria del Tutto è formulabile all’interno della Teoria degli Insiemi di Kelly-Morse (KM) e implica che la teoria del primo ordine di V sia ricorsiva nella Costante di Struttura Fine. In pratica, la teoria di V sarebbe intessuta nella trama della realtà fisica.
• Lo Scenario della Simulazione: Viviamo in una Simulazione che si svolge in una realtà fisica abitata da esseri transfiniti per i quali la teoria di V_ekappa; (dove ekappa; è il più piccolo cardinale misurabile) è semplice come per noi la teoria di V₅. I nostri Simulatori avrebbero accesso diretto a una porzione di V sufficiente a rispondere a una marea di domande, inclusa l’Ipotesi del Continuo.

Ma possiamo davvero essere in una simulazione? Se l’Ipotesi dell’Approssimazione Finita (che afferma che esistono strutture finite che approssimano l’universo fisico a qualsiasi livello di accuratezza) è falsa, allora le simulazioni numeriche non possono approssimare l’universo fisico arbitrariamente bene. Ma questo va contro la pratica attuale! Se invece è vera, allora non potremo mai avere prove fisiche di non essere in una simulazione. E non c’è alcun vincolo a priori sulla natura dell’universo in cui tale simulazione si svolge.

• Lo Scenario della Simulazione Estrema: Viviamo in una Simulazione dentro una Simulazione dentro una Simulazione… “tartarughe fino in fondo”! Non c’è una prima simulazione, solo una sequenza infinita annidata. Ogni simulazione è finita, ma la sua scala aumenta esponenzialmente. Ognuna contiene un frammento della teoria di V dalla simulazione successiva, e ogni enunciato vero in V viene alla fine identificato come tale.

Il punto è questo: affermare che dobbiamo rifiutare la V-view perché noi, esseri finiti, non possiamo avere accesso a V implica che tutti questi scenari (e le loro infinite varianti) siano falsi. E sostenere che anche solo uno di questi scenari sia falso è un’affermazione, a mio parere, sbalorditiva.

L’Alternativa Minimalista: la LEAN-view

All’estremo opposto della V-view c’è quella che definisco la LEAN-view. Qui, la Verità Matematica si riduce semplicemente all’esistenza di dimostrazioni a partire da assiomi specificati, verificabili da un programma come LEAN (un verificatore di prove), con limiti di risorse ben precisi (tipo, memoria flash da 10²⁴ TB, CPU da 10¹⁶ FLOPS, tempo di esecuzione di 1000 anni). È una forma di ultra-finitismo su scala umana. Ma, al netto dei limiti di risorse, esiste davvero una visione intermedia razionale tra la LEAN-view e la V-view?

Questioni Matematiche Chiare (o quasi)

Uno dei trionfi della matematica moderna è la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat (FLT) da parte di Wiles. La sua dimostrazione pubblicata non è nemmeno in ZFC ed è ben lontana dall’essere una prova in PA. Anche se sembra chiaro che si potrebbe lavorare solo in ZFC, la questione se la prova possa essere effettivamente svolta solo in PA è incerta. Ma io dico: non è questa la domanda giusta!

Introduciamo la FPA (Formal Finite Number Theory). Gli oggetti sono gli interi positivi fino a un numero N massimo (non specificato), con l’ordinamento. Le operazioni di addizione e moltiplicazione sono parziali. L’Assioma di Induzione che usiamo è il Principio dei Cassetti (Pigeon Hole Principle). È un esercizio divertente dimostrare che in FPA la relazione “x < y" è definibile. Quindi, FLT è un'affermazione formale nel contesto di FPA. La domanda diventa: FLT può essere dimostrato in FPA? Sembra improbabile che una tale prova assomigli a quella di Wiles; più probabilmente sarebbero pagine e pagine di calcoli formali, forse incomprensibili per un umano.

Molti problemi famosi della Teoria dei Numeri possono essere riformulati in FPA, spesso in versioni più “taglienti”. Il Teorema di Euclide sull’infinità dei numeri primi non ha senso in FPA, ma il Postulato di Bertrand sì (per ogni intero d > 1, esiste un primo p tale che d < p < 2d). La dimostrazione di Erdös, pur elegante ("dal Libro", diceva lui), non produce banalmente una prova in FPA. E che dire della Congettura abc? Anche questa può essere riformulata in FPA, condizionata all'esistenza di certe quantità.

Qualcuno potrebbe liquidare la domanda sulla dimostrabilità di FLT in FPA come poco interessante, perché l’importanza della prova di Wiles risiede nella sua bellezza, nel suo intrecciare idee sofisticate. E qui entra in gioco lo Standard della Bellezza Umana. Anche se nella V-view la Verità in V non è soggetta a standard umani, nella nostra vita matematica quotidiana, tutti noi adottiamo una qualche versione di questo standard. Pensiamo al Teorema dei Quattro Colori: l’unica prova nota richiede il controllo computerizzato di centinaia di casi. Non proprio il massimo della bellezza umana. O la Classificazione dei Gruppi Semplici Finiti: migliaia di pagine di riviste. Le sue conseguenze soddisfano lo standard di bellezza?

Nella LEAN-view, la Verità è indipendente dallo Standard della Bellezza Umana. Ma c’è un problema più serio. Supponiamo che esista una LEAN-dimostrazione da PA che non esiste una dimostrazione di FLT da FPA. Quale sarebbe allora lo status della verità di FLT in una concezione basata sulla LEAN-view? Probabilmente si sarebbe costretti a virare verso una versione della N-view.

Il Teorema di Ramsey e le Verità Indimostrabili (in PA)

Il classico Teorema di Ramsey è formulato e dimostrato nel contesto di PA. Esiste anche una versione infinita, più naturale in Teoria degli Insiemi. E poi c’è una versione intermedia, dovuta a Paris e Harrington. Definiamo un insieme X esube; eNopf; “grande” se |X| ege; min(X). Il Teorema di Paris-Harrington (LRT) afferma che per ogni intero positivo N, esiste un intero M > N tale che per ogni funzione epi; da N-sottoinsiemi di {0, …, M-1} a {0,1}, esiste un sottoinsieme X di {0, …, M-1} tale che N < |X|, X è grande, e epi; ristretta agli N-sottoinsiemi di X è costante. La conclusione di LRT è esprimibile in PA. Non solo non esiste una prova di LRT da PA che soddisfi lo Standard della Bellezza Umana, ma non esiste alcuna prova a meno che PA non sia inconsistente! Infatti, Paris e Harrington hanno dimostrato che se PA è consistente, allora PA non dimostra LRT. Anzi, LRT è equivalente alla 1-consistenza di PA (cioè, se PA dimostra una frase eSigma;⁰₁, allora quella frase è vera).

I numeri di Paris-Harrington, PH_N, crescono a una velocità spaventosa. PH₁ = 2, ma già PH₁₀ è probabilmente più grande di qualsiasi numero specificabile nel nostro universo fisico. Esiste una LEAN-dimostrazione da PA che PH₁₀₀ esiste. Ma, se PA è consistente, non esiste una LEAN-dimostrazione da PA che PH_K esiste, dove K = PH₁₀₀. Senza appellarsi almeno alla N-view (per concludere la 1-consistenza di PA), quale base razionale abbiamo per affermare che PA è consistente, anche nella limitatissima LEAN-view?

Usando i numeri PH_N, qualsiasi affermazione della Teoria dei Numeri può essere “affilata” in una versione che ha senso in FPA. Questo fenomeno generale rende intrigante l’idea di lavorare in FPA per la comprensione ultima dei problemi della Teoria dei Numeri.

Gerarchia Cumulativa e Algebre Misteriose

Per addentrarci ulteriormente, assumiamo un po’ più di familiarità con la Teoria degli Insiemi, come gli insiemi V_ealpha; della gerarchia cumulativa. V₀ = eemptyset;, V_ealpha;+1 = ereal;P(V_ealpha;) (l’insieme delle parti di V_ealpha;), e V_ealpha; = ecup;_{ebeta; < ealpha;} V_ebeta; per ordinali limite ealpha;. L’Assioma di Regolarità implica che ogni insieme X appartiene a qualche V_ealpha;. Questa concezione di V come universo della Teoria degli Insiemi motiva gli assiomi ZF, così come la concezione di (eNopf;,+,emiddot;) motiva gli Assiomi di Peano. Lo stadio V_eomega; è una reinterpretazione della Teoria dei Numeri. L’Assioma dell’Infinito assicura che V ene; V_eomega;.

Passiamo alle algebre sinistra-distributive. Un’algebra A con un’operazione elowast; è sinistra-distributiva se a elowast; (b elowast; c) = (a elowast; b) elowast; (a elowast; c). Laver ha dimostrato (in gran parte) che per ogni intero N, esiste un’unica algebra sinistra-distributiva A_N con un generatore e 2^N elementi. Si può definire un limite inverso A^einfin;, e il problema di A^einfin; è determinare la sua struttura. Mumford notò una corrispondenza con gli interi 2-adici. Il problema si riduce a determinare se 1 ha ordine infinito in A^einfin;. Dougherty e Jech hanno dimostrato che A^einfin; è l’algebra sinistra-distributiva libera con un generatore se e solo se per ogni K, esiste N > K tale che una certa relazione vale in A_N.

Sorprendentemente, queste algebre sono collegate agli assiomi dei grandi cardinali. L’Assioma I₃ afferma l’esistenza di un cardinale elambda; tale che V_elambda; evDash; ZFC e esiste un’immersione elementare non banale j: V_elambda; erightarrow; V_elambda;. Laver e Steel hanno dimostrato che se esiste una tale immersione, l’algebra generata da j, denotata A(j), è l’algebra sinistra-distributiva libera con un generatore. Dougherty e Jech hanno poi provato che se esiste un elambda; con un’immersione elementare non banale j: V_elambda; erightarrow; V_elambda;, allora A(j) econg; A^einfin;, e quindi A^einfin; è l’algebra sinistra-distributiva libera con un generatore.

La dimostrazione che A^einfin; è libera non può essere fatta nell’Aritmetica Primitiva Ricorsiva. Questo suggerisce che per provare certe verità aritmetiche “interessanti”, potremmo aver bisogno di assiomi più forti, che trovano la loro giustificazione naturale nella V-view, specialmente se si accetta l’esistenza di cardinali che soddisfano I₃. L’affermazione che non esista alcuna affermazione aritmetica “interessante” che implichi la 1-consistenza della teoria ZFC + “esiste un cardinale I₃” sembra solo un tentativo disperato di rifiutare la V-view.

È interessante notare che l’assioma I₃ è considerato “sull’orlo dell’inconsistenza”, poiché variazioni apparentemente minori sono note per essere inconsistenti. È solo attraverso la comprensione di V, nel contesto della V-view, che si può sperare di distinguere le formulazioni genuine (e vere) da quelle false. Sorprendentemente, l’indagine sulla giustificazione dell’esistenza di cardinali I₃ è intrecciata con l’indagine sull’Ipotesi del Continuo (CH) stessa.

Due Misteri e una Scelta Oracolare

Nella V-view, la domanda se CH sia vera deve avere una risposta. Determinare questa risposta è una sfida che la V-view non può ignorare. Forse il problema di CH è il canto della sirena di V.

Ci troviamo di fronte a due misteri:

1. Mistero Uno: La V-view ha avuto un successo notevole, ben oltre le aspettative iniziali. Ha fornito risposte a domande che 100 anni fa si prevedeva non avrebbero mai avuto risposte umane, e che 60 anni fa si è verificato non avere risposte formali basate sugli assiomi ZFC. Come è possibile? E continuerà così?
2. Mistero Due: Alcuni (forse molti) rifiuteranno la V-view. Qual è la base razionale per farlo?

Immaginate di entrare nella Grande Sala degli Oracoli. Ci sono tre porte: LEAN, eNopf; (per la N-view), e V.

• Dietro la porta LEAN: un oracolo per la LEAN-view, a cui potete fare 1000 domande sì/no.
• Dietro la porta eNopf;: un oracolo per la Verità Aritmetica, a cui fare 1000 domande vero/falso (a meno che non esista, e allora la stanza è vuota).
• Dietro la porta V: un oracolo per la Verità della Teoria degli Insiemi, a cui fare 1000 domande vero/falso (a meno che non esista, e allora la stanza è vuota).

Potete aprire solo una porta. Quale scegliereste? Io, personalmente, non avrei dubbi. La V-view, con la sua promessa di un universo matematico completo e coerente, è troppo affascinante per essere ignorata. È una visione che ci spinge a esplorare i confini più remoti del pensiero matematico, alla ricerca di una verità che, forse, è là fuori ad aspettarci.

Fonte: Springer