Vedere l’Invisibile: Come la Topologia Sta Rivoluzionando il Tracciamento di Particelle

Avete mai provato a immaginare come facciamo a seguire il movimento di minuscole particelle nascoste all’interno di materiali densi e opachi, come dentro un macchinario industriale in funzione o un reattore chimico? Sembra fantascienza, vero? Eppure, esiste una tecnica incredibilmente affascinante chiamata Positron Emission Particle Tracking (PEPT) che ci permette di fare proprio questo, con una precisione pazzesca, a livello sub-millimetrico e sub-millisecondo!

Io la trovo una cosa sbalorditiva. In pratica, “etichettiamo” una particella con un isotopo radioattivo che emette positroni. Questi positroni, quasi istantaneamente, incontrano elettroni nel materiale circostante e… *puff!* Annichilano, producendo due raggi gamma da 511 keV che schizzano via in direzioni opposte. Rilevando questi raggi gamma “schiena contro schiena” con uno scanner speciale (simile a quelli usati per la PET in medicina), possiamo triangolare la posizione esatta della nostra particella tracciante. Figo, no?

Ma cosa succede quando il gioco si fa duro?

Il PEPT è fantastico per seguire una singola particella, ma le cose si complicano tremendamente quando vogliamo seguirne molte contemporaneamente, specialmente in ambienti “rumorosi”. Cosa intendo per rumoroso? Immaginate un sacco di segnali spuri: raggi gamma che rimbalzano (scattering Compton), coppie di fotoni rilevate per caso che non provengono dalla stessa annichilazione, radiazioni di fondo… tutto questo “rumore” può facilmente sommergere i segnali “veri” delle nostre particelle, rendendo difficilissimo capire chi è chi e dove sta andando.

Pensate a materiali densi come l’acciaio, spesso usato nei macchinari industriali. Questi materiali non solo assorbono molti dei segnali buoni, ma aumentano anche lo scattering, creando un vero e proprio caos di dati. Gli algoritmi PEPT tradizionali, come il classico “Metodo Birmingham”, sono robusti ma faticano in queste condizioni estreme, soprattutto con più particelle. Anche approcci più moderni, basati sul machine learning come PEPT-ML, pur migliorando la situazione, trovano ancora pane per i loro denti quando il rumore è alto e le particelle sono tante.

La Topologia: Un’Arma Segreta dalla Matematica

Ed è qui che entra in gioco un’idea nuova e, lasciatemelo dire, geniale: usare la topologia. Sì, quella branca della matematica che studia le proprietà fondamentali delle forme, come la connessione, i “buchi”, le componenti… quelle cose che non cambiano se deformiamo un oggetto senza strapparlo o incollarne pezzi (il classico esempio è la tazza che è topologicamente equivalente a una ciambella).

Negli ultimi anni è emerso un campo potentissimo chiamato Analisi Topologica dei Dati (TDA). Invece di guardare solo alle distanze tra i punti dati (come fanno molti metodi classici), la TDA cerca la “forma” intrinseca nascosta nei dati. Utilizza strumenti come i complessi simpliciali (costruzioni fatte di punti, segmenti, triangoli, tetraedri…) e l’omologia persistente per capire quali caratteristiche geometriche (come cluster o buchi) sono “robuste” e significative, e quali sono solo rumore transitorio.

L’omologia persistente, in particolare, è affascinante. Immaginate di “gonfiare” delle sfere attorno a ogni punto dato. Man mano che i raggi crescono, le sfere si intersecano formando connessioni, poi cicli (buchi 1D), poi vuoti (buchi 2D), ecc. L’omologia persistente tiene traccia di quando queste caratteristiche topologiche “nascono” e “muoiono” al variare del raggio. Le caratteristiche che “persistono” per un lungo intervallo di raggi sono considerate significative (il segnale!), mentre quelle che appaiono e scompaiono rapidamente sono probabilmente rumore.

Ecco T-PEPT: Il Nostro Tracker Topologico

Basandoci su questi principi, abbiamo sviluppato un nuovo algoritmo che abbiamo chiamato T-PEPT. L’idea è applicare la potenza della TDA ai dati grezzi del PEPT, in particolare ai “cutpoint” (i punti di minima distanza tra le linee di risposta dei raggi gamma).

Come funziona, in soldoni?

• Segmentiamo i dati PEPT e calcoliamo i cutpoint.
• Usiamo tecniche come la Kernel Density Estimation (KDE) per trovare le regioni ad alta densità di cutpoint.
• Costruiamo un complesso simpliciale (usando l’approccio Vietoris-Rips, più efficiente computazionalmente) basato sulla vicinanza e sulla densità dei punti.
• Analizziamo questo complesso con l’omologia persistente per distinguere i cluster “veri” (le nostre particelle) dal rumore. Una cosa molto interessante è che T-PEPT calcola dinamicamente il rapporto segnale/rumore (“true_fraction”), adattandosi ai dati specifici senza bisogno di impostazioni manuali fisse, a differenza di altri metodi.
• Applichiamo poi algoritmi di clustering spaziale (come HDBSCAN), guidati dalle informazioni topologiche, in un processo a due passaggi per raffinare la posizione dei centri dei cluster.
• Infine, ricostruiamo le traiettorie delle particelle collegando i centri dei cluster trovati nel tempo.

Il bello della TDA è che è intrinsecamente robusta al rumore, perché si concentra sulla struttura globale e persistente dei dati, piuttosto che su metriche locali che possono essere facilmente falsate da punti spuri.

La Prova del Nove: Simulazioni Estreme

Per mettere alla prova T-PEPT, non ci siamo accontentati. Abbiamo simulato uno scenario industriale davvero tosto: un mulino ad attrito. Immaginate un cilindro pieno di sfere d’acciaio che sfrecciano ad alta velocità (fino a 600 RPM!), mosse da un agitatore interno, il tutto racchiuso in un contenitore di acciaio. Questo è l’ambiente perfetto per testare il tracciamento di particelle multiple in condizioni di altissimo rumore, a causa dell’alta densità e delle proprietà di attenuazione dell’acciaio.

Abbiamo usato simulazioni DEM (Discrete Element Method) per generare le traiettorie realistiche di 5 particelle traccianti all’interno del mulino e poi simulazioni Monte Carlo (con GATE) per modellare come il nostro detector PEPT (un Philips ADAC Forte) avrebbe “visto” queste particelle radioattive (marcate con Fluoro-18). Abbiamo testato diversi livelli di difficoltà: traccianti di vetro in un mulino di alluminio (meno rumoroso), traccianti di vetro in mulino d’acciaio, e il caso più estremo, traccianti d’acciaio in un mulino d’acciaio.

Abbiamo confrontato le performance di T-PEPT con quelle del Metodo Birmingham e di PEPT-ML. Inoltre, abbiamo sottoposto T-PEPT a una serie di test standardizzati (“Standard Testing Framework for PEPT”) sviluppati apposta per confrontare equamente diversi algoritmi PEPT in vari scenari (attività minima, velocità massima, separazione minima tra particelle, numero massimo di traccianti, ecc.).

I Risultati? Sorprendenti!

I risultati sono stati davvero incoraggianti. Nei test standardizzati, T-PEPT si è comportato egregiamente in quasi tutte le prove, eccellendo in particolare nel test del “numero massimo di traccianti”, dove è riuscito a identificare correttamente ben 79 particelle posizionate casualmente, superando altri metodi!

Ma la vera sfida era il mulino ad attrito simulato. Nello scenario più difficile (traccianti d’acciaio, mulino d’acciaio, 600 RPM), T-PEPT è stato l’unico algoritmo in grado di tracciare con successo tutte e 5 le particelle per l’intera durata della simulazione. Il Metodo Birmingham ne ha trovate solo 3, mentre PEPT-ML ne ha individuate 4. Non solo, T-PEPT ha mostrato errori spaziali medi (nelle coordinate X, Y, Z) costantemente inferiori rispetto agli altri due algoritmi in *tutti* gli scenari testati. E non è finita: anche la deviazione standard degli errori era più bassa per T-PEPT, indicando una maggiore consistenza e stabilità nella localizzazione delle particelle.

Perché questa differenza? Crediamo che sia proprio l’approccio topologico a fare la magia. Mentre altri metodi cercano di ottimizzare il “fit” di una traiettoria specifica, rischiando di essere ingannati dal rumore o dalla vicinanza di altre particelle (il Metodo Birmingham, ad esempio, sembra aver fuso insieme alcune traiettorie quando le particelle avevano attività simile), T-PEPT si concentra sull’identificare le “forme” persistenti nei dati. Questo lo rende meno suscettibile ai singoli eventi spuri e più capace di distinguere le tracce reali anche quando sono vicine o immerse in un mare di rumore.

Un Nuovo Strumento nel Nostro Arsenale

In conclusione, T-PEPT si è dimostrato un algoritmo nuovo ed estremamente efficace per il tracciamento di particelle multiple in ambienti ad alto rumore. Non sostituisce necessariamente i metodi esistenti, che hanno i loro punti di forza, ma offre un approccio complementare potentissimo proprio là dove gli altri faticano di più.

Sfruttando l’analisi topologica dei dati, T-PEPT riesce a “vedere” la struttura nascosta nelle traiettorie delle particelle, filtrando il rumore e identificando le caratteristiche persistenti che corrispondono ai percorsi reali. La sua robustezza, scalabilità e precisione, unite ai vantaggi intrinseci dei metodi topologici, lo rendono un’aggiunta preziosa alla nostra cassetta degli attrezzi per studiare sistemi complessi, aprendo nuove possibilità per la ricerca scientifica e le applicazioni industriali in condizioni sperimentali davvero proibitive.

Il codice di T-PEPT è anche liberamente disponibile su GitHub (link nel paper originale), per chiunque voglia provarlo e contribuire al suo sviluppo. Il viaggio per “vedere l’invisibile” continua, e la topologia ci sta decisamente dando una nuova, potente lente d’ingrandimento!

Fonte: Springer