Sottovarietà Parzialmente Slant: Un Tuffo Affascinante nella Geometria Complessa!

Ciao a tutti, appassionati di forme e spazi! Oggi voglio portarvi con me in un viaggio entusiasmante nel cuore della geometria differenziale, un campo della matematica che studia le proprietà delle curve, delle superfici e delle loro generalizzazioni, chiamate varietà. In particolare, ci tufferemo nel mondo affascinante delle varietà Kähleriane. Immaginatele come degli spazi speciali dove la geometria (la metrica, che misura distanze e angoli) e la struttura complessa (che ci permette di pensare in termini di numeri complessi, un po’ come nel piano di Gauss) giocano insieme in perfetta armonia.

All’interno di queste meravigliose varietà Kähleriane, possiamo trovare oggetti ancora più specifici: le sottovarietà. Pensate a una curva su una superficie, o una superficie nello spazio tridimensionale: ecco, quelle sono sottovarietà. La cosa si fa interessante quando iniziamo a chiederci come la struttura complessa della varietà “grande” (chiamiamola e#x1d50f;) interagisce con lo spazio tangente della sottovarietà (chiamiamola N).

Un “Zoo” di Sottovarietà

A seconda di questa interazione, abbiamo scoperto nel tempo un vero e proprio “zoo” di sottovarietà. Ecco alcune delle più famose:

• Sottovarietà olomorfe (o complesse): Qui, la struttura complessa e#x1d511; mappa i vettori tangenti alla sottovarietà N… in altri vettori tangenti a N! Rimane tutto “all’interno”.
• Sottovarietà totalmente reali: All’estremo opposto, e#x1d511; spedisce ogni vettore tangente a N in un vettore completamente perpendicolare (normale) a N. Va tutto “fuori”.
• Sottovarietà CR: Introdotte da Bejancu, sono un mix: lo spazio tangente si divide in una parte olomorfa e una totalmente reale.
• Sottovarietà slant: Qui le cose si fanno più “inclinate”! Chen ha definito queste sottovarietà come quelle in cui l’angolo tra e#x1d511; applicato a un vettore tangente e lo spazio tangente stesso è costante, qualunque vettore scegliamo. Un’idea geniale che generalizza sia le olomorfe (angolo 0) sia le totalmente reali (angolo π/2).
• Semi-slant, Hemi-slant, Bi-slant…: E non finisce qui! Sono state introdotte altre classi che combinano le proprietà slant con quelle olomorfe o totalmente reali in modi diversi (semi-slant di Papaghiuc, hemi-slant di Carriazo e Sahin, bi-slant di Carriazo).

Sembra complicato, vero? Tante definizioni, tante sottoclassi… Non sarebbe bello avere un concetto più generale che le abbracci un po’ tutte? Ed è qui che entriamo in gioco noi!

La Novità: Sottovarietà Parzialmente Slant (PS-Submanifolds)

Nel lavoro che vi racconto oggi, introduciamo una nuova classe di sottovarietà che abbiamo chiamato Parzialmente Slant (o PS-submanifolds in breve). L’idea è semplice ma potente: cosa succede se lo spazio tangente della nostra sottovarietà N si decompone in due parti ortogonali tra loro, chiamiamole e#x1d4d7;^θ e e#x1d4d7;e#x0303;, tali che:

1. e#x1d4d7;^θ è una distribuzione slant (cioè, l’angolo definito da e#x1d511; è costante per tutti i vettori in questa parte).
2. e#x1d4d7;e#x0303; è una distribuzione “arbitraria”, che chiamiamo distribuzione ambigua.
3. C’è una condizione tecnica aggiuntiva: e#x1d511;(e#x1d4d7;^θ) deve essere perpendicolare a e#x1d4d7;e#x0303;, e e#x1d4d7;^θ deve essere perpendicolare a e#x1d511;(e#x1d4d7;e#x0303;). Questo si traduce nel fatto che l’operatore P (la parte tangente di e#x1d511;) mappa e#x1d4d7;^θ in sé stesso e e#x1d4d7;e#x0303; in sé stesso.

La bellezza di questa definizione? Guardate un po’:

• Se la distribuzione ambigua e#x1d4d7;e#x0303; è vuota ({0}), ritroviamo le sottovarietà slant.
• Se e#x1d4d7;e#x0303; è una distribuzione olomorfa, otteniamo le sottovarietà semi-slant.
• Se e#x1d4d7;e#x0303; è anti-invariante (totalmente reale), abbiamo le sottovarietà hemi-slant.
• Se e#x1d4d7;e#x0303; è anch’essa slant (con un angolo diverso o uguale a θ), ecco le sottovarietà bi-slant.
• E se e#x1d4d7;e#x0303; è un mix di olomorfa e totalmente reale? Troviamo le sottovarietà CR.

Incredibile, vero? Le sottovarietà Parzialmente Slant sono un cappello che raccoglie tutte queste importanti classi!

Un Esempio Concreto (e “Proper”)

Per non rimanere solo nell’astrazione, abbiamo costruito un esempio specifico. Abbiamo considerato lo spazio Euclideo a 10 dimensioni e#x211d;¹⁰, che è una varietà Kähleriana con la sua struttura complessa standard. Abbiamo definito un’immersione di una varietà M a 5 dimensioni in e#x211d;¹⁰ tramite una mappa X che dipende da 5 parametri (φ, θ, ξ, s, t).

Calcolando i vettori tangenti e applicando la struttura complessa e#x1d511;, abbiamo mostrato che lo spazio tangente si divide proprio in una distribuzione slant e#x1d4d7;^θ (con angolo θ = π/4, quindi cos²θ = 1/2) e una distribuzione ambigua e#x1d4d7;e#x0303;. La cosa interessante è che e#x1d4d7;e#x0303; non risulta essere né slant, né olomorfa, né totalmente reale. Gli angoli formati da e#x1d511; applicato ai vettori di base di e#x1d4d7;e#x0303; non sono costanti e nemmeno uguali tra loro. Questo significa che il nostro esempio è una sottovarietà Parzialmente Slant “propria”, cioè non ricade in nessuna delle sottoclassi già note come semi-slant o bi-slant. Esistono davvero!

Integrabilità e Geometria delle Foglie

Una volta definita una nuova struttura, la domanda naturale per un geometra è: “Cosa possiamo dire della sua geometria interna?”. Ci siamo chiesti: quando le distribuzioni e#x1d4d7;^θ e e#x1d4d7;e#x0303; sono integrabili? Essere integrabile significa che, punto per punto, la distribuzione definisce delle “sottovarietà tangenti” (chiamate foglie) che “piastrellano” la nostra sottovarietà N. Abbiamo trovato le condizioni precise affinché questo accada. Queste condizioni coinvolgono la seconda forma fondamentale h (che misura quanto N è curva dentro e#x1d50f;) e l’operatore di Weingarten A_ξ (legato a h).

Ad esempio, la distribuzione slant e#x1d4d7;^θ è integrabile se e solo se una certa combinazione di derivate covarianti e operatori di Weingarten applicati a vettori delle due distribuzioni dà come risultato zero quando proiettata sulla distribuzione ambigua e#x1d4d7;e#x0303;. Similmente, abbiamo trovato condizioni equivalenti per l’integrabilità della distribuzione ambigua e#x1d4d7;e#x0303;.

Non solo, ci siamo spinti oltre: quando queste “foglie” sono totalmente geodetiche dentro N? Essere totalmente geodetico significa essere “piatto” nel senso più forte possibile: ogni geodetica (il percorso più breve tra due punti) della foglia è anche una geodetica di N. Anche qui, abbiamo derivato condizioni specifiche legate alla seconda forma fondamentale.

Il Ruolo dei Morfismi e le Forme Spaziali Complesse

Abbiamo anche studiato l’effetto dei morfismi P (parte tangente di e#x1d511;) e F (parte normale di e#x1d511;) sulla geometria. Ad esempio, se F è parallelo (cioè la sua derivata covariante è zero), questo ha forti implicazioni sull’integrabilità e la geodesicità delle foglie e sulla parallelismo di una parte del fibrato normale.

Infine, abbiamo ristretto il campo alle forme spaziali complesse e#x1d50f;(c), che sono varietà Kähleriane con curvatura sezionale olomorfa costante c. Questi sono gli analoghi complessi degli spazi Euclidei (c=0), delle sfere (c>0, come lo spazio proiettivo complesso CP^m) e degli spazi iperbolici (c<0, come lo spazio iperbolico complesso CH^m).

In questo contesto, abbiamo introdotto due nuove nozioni di curvatura per la sottovarietà N:

• La curvatura P-sezionale olomorfa: simile alla curvatura sezionale olomorfa, ma usa l’operatore P invece di e#x1d511;.
• La curvatura P-bisezionale olomorfa mista: misura la curvatura su piani determinati da un vettore in e#x1d4d7;e#x0303; e uno in e#x1d4d7;^θ, sempre usando P.

Usando queste nuove curvature, abbiamo ottenuto dei teoremi di caratterizzazione interessanti. Ad esempio, abbiamo dimostrato che se una sottovarietà PS in una forma spaziale complessa e#x1d50f;(c) con c≠0 è “mista totalmente geodetica” (cioè h(v,w)=0 se v è in e#x1d4d7;^θ e w in e#x1d4d7;e#x0303;), la distribuzione slant e#x1d4d7;^θ è integrabile e le sue foglie sono totalmente geodetiche, allora la sottovarietà deve essere in realtà una semi-slant!

Un altro risultato affascinante riguarda le sottovarietà PS con curvatura P-bisezionale olomorfa mista nulla. Abbiamo scoperto che, sotto certe condizioni (come F parallelo, e#x1d4d7;^θ integrabile con foglie totalmente geodetiche, e un’altra condizione tecnica su h), non possono esistere sottovarietà PS proprie in uno spazio iperbolico complesso CH^m(4c) (c<0). Devono per forza essere delle semplici sottovarietà slant. Infine, per le sottovarietà PS con curvatura P-bisezionale mista nulla nello spazio proiettivo complesso CP^m (c>0), abbiamo stabilito una disuguaglianza generale per il quadrato della norma della seconda forma fondamentale ||h||². Questa disuguaglianza coinvolge le dimensioni delle distribuzioni, l’angolo slant θ e la norma dell’operatore P sulla distribuzione ambigua. Abbiamo anche analizzato il caso in cui vale l’uguaglianza, scoprendo che implica condizioni molto forti sulla curvatura della sottovarietà N.

Conclusioni (per Ora!)

Questo viaggio nelle sottovarietà Parzialmente Slant è appena iniziato! Abbiamo definito una nuova classe che generalizza e unifica molti concetti precedenti, fornito esempi concreti, studiato la loro geometria interna (integrabilità, geodesicità) e il loro comportamento in ambienti speciali come le forme spaziali complesse, introducendo anche nuove nozioni di curvatura.

È un campo di ricerca attivo e pieno di potenzialità. Spero di avervi trasmesso un po’ dell’entusiasmo che proviamo noi matematici quando scopriamo nuove strutture e connessioni nascoste nel meraviglioso universo della geometria! Chissà quali altre sorprese ci riserveranno queste affascinanti sottovarietà…

Fonte: Springer