Simmetrie Ribelli: Quando l’Ordine Quantistico Svela Sorprese Inaspettate nel Trasporto

Amici della scienza, preparatevi per un viaggio nel cuore pulsante della fisica quantistica, un posto dove le regole del gioco, le cosiddette simmetrie, a volte si divertono a giocare a nascondino, rivelando comportamenti che ci lasciano a bocca aperta! Oggi vi racconto una storia affascinante che emerge da uno studio sui circuiti quantistici, in particolare quelli che conservano una quantità chiamata simmetria U(1) – pensatela come una sorta di conservazione della “carica” o magnetizzazione totale.

Un Campo da Gioco Ordinato… o Forse No?

Quando pensiamo a sistemi fisici estesi e omogenei, cioè dove ogni pezzetto è uguale all’altro, come una lunga catena di atomi identici, ci aspetteremmo che anche le simmetrie che governano il loro comportamento siano, beh, omogenee. Sembra logico, no? Se il sistema è “liscio” e uguale dappertutto, perché le sue regole intrinseche dovrebbero essere “grumose” o variare da un punto all’altro?

Bene, studiando dei circuiti composti da qubit (i mattoncini fondamentali dei computer quantistici) che interagiscono con i loro vicini più prossimi attraverso dei “gate” U(1), abbiamo scoperto che questa aspettativa può essere clamorosamente smentita. È come scoprire che in una squadra di calcio dove tutti i giocatori indossano la stessa maglia e seguono le stesse istruzioni generali, alcuni di loro sviluppano schemi di gioco segreti e localizzati che nessuno si aspettava!

Abbiamo scovato delle nuove simmetrie, chiamate SU(2) “a vite” disomogenee e le loro cugine quantistiche, le simmetrie U_q(sl₂). La cosa pazzesca è che i “generatori” di queste simmetrie, cioè le operazioni matematiche che le definiscono, mostrano una modulazione spaziale, una sorta di “onda” che si propaga lungo il circuito, nonostante il circuito stesso sia perfettamente omogeneo (tutti i gate sono identici). Immaginate una catena di luci natalizie tutte uguali, ma che si accendono e spengono seguendo uno schema complesso che si ripete con una certa periodicità spaziale: ecco, l’idea è simile.

Queste simmetrie “ribelli” possono essere viste come una generalizzazione, dipendente dai parametri del sistema, della classica simmetria rotazionale che troviamo nel famoso modello di Heisenberg, un cavallo di battaglia per descrivere il magnetismo. E come le abbiamo scovate? Non è stato facile guardando semplicemente le equazioni del sistema. Abbiamo dovuto usare uno strumento un po’ più sofisticato, analizzando lo spettro di Ruelle-Pollicott di un oggetto chiamato “propagatore risolto in momento”. Detta così sembra arabo, ma pensatelo come un modo per “ascoltare” le frequenze nascoste del sistema, che ci rivelano queste simmetrie altrimenti invisibili.

Dall’Integrabilità al Caos Controllato del Trasporto

La presenza di queste simmetrie ha un impatto enorme su come le “informazioni” o le “cariche” (come la magnetizzazione) si muovono attraverso il circuito. Questo è ciò che chiamiamo trasporto. La struttura di integrabilità di questi sistemi – un termine elegante per dire che sono risolvibili esattamente e possiedono molte quantità conservate – si riflette in una varietà incredibile di comportamenti di trasporto.

Pensate a un rubinetto: a seconda di come lo regolate, l’acqua può fluire in modi diversi. Qui, variando un parametro come la durata dell’applicazione dei gate U(1), il nostro circuito quantistico può attraversare diverse “fasi” di trasporto:

• Trasporto balistico frattale: le particelle sfrecciano quasi indisturbate, ma la velocità con cui lo fanno ha una dipendenza complessa e auto-simile (frattale!) dai parametri del sistema.
• Superdiffusione di Kardar-Parisi-Zhang (KPZ): un comportamento esotico, più veloce della normale diffusione ma più lento del trasporto balistico, che emerge in una regione critica del sistema. È qui che entrano in gioco in modo cruciale le nostre simmetrie SU(2) disomogenee locali.
• Diffusione: il classico movimento “a zig-zag” delle particelle, come l’inchiostro che si sparge nell’acqua.
• Localizzazione: le particelle rimangono intrappolate, incapaci di muoversi efficacemente.

È affascinante notare che non tutte le simmetrie hanno lo stesso peso nel determinare il trasporto. Le simmetrie SU(2) non locali, quelle i cui generatori si estendono su lunghe distanze nel sistema, si è scoperto che non influenzano significativamente il trasporto. Al contrario, sono proprio le simmetrie SU(2) locali e disomogenee, quelle che “quasi” commutano con il propagatore del sistema (cioè, lo lasciano quasi invariato), a dettare legge e a spiegare correttamente i fenomeni osservati, come la superdiffusione.

Svelare il Mistero: Come Trovare Simmetrie Nascoste?

Vi chiederete: ma se queste simmetrie sono così ben nascoste, come si fa a trovarle? Come ho accennato, l’ispezione diretta del “manuale di istruzioni” del sistema (l’Hamiltoniano o il propagatore) non basta. Anche guardare lo spettro delle energie (o quasi-energie, nel caso dei sistemi periodici come i nostri circuiti) può essere fuorviante, perché le “multiplette” spettrali, cioè gruppi di stati con la stessa energia che di solito segnalano una simmetria, potrebbero non esserci o essere diverse da quelle attese.

Questo accade perché i generatori di queste nuove simmetrie SU(2) e U_q(sl₂) dipendono dai parametri del modello e, come detto, sono spazialmente dipendenti, pur essendo il sistema omogeneo. Inoltre, in un sistema di dimensioni finite, la simmetria non è esatta, ma lo diventa solo nel limite di un sistema infinitamente grande, a causa di termini di bordo trascurabili.

La chiave, come anticipato, è stata l’utilizzo dello spettro di Ruelle-Pollicott (RP). Immaginate di avere un operatore che fa evolvere altri operatori nel tempo in un sistema infinito. Se lo “tagliamo” considerando solo operatori locali (che agiscono su pochi siti vicini), questo super-operatore diventa non unitario. Analizzando i suoi autovalori in un blocco di momento specifico, possiamo trovare degli autovalori pari a 1. Questi indicano la presenza di operatori conservati strettamente locali. Nel nostro caso, oltre alle cariche conservate già note, abbiamo visto emergere dei picchi distinti a momenti non nulli, che corrispondevano esattamente ai nostri operatori “ladder” SU(2) a vite! È stato come accendere una luce UV e vedere apparire scritte invisibili.

Il Ruolo dei Parametri Extra e la Criticità

Il bello di questi circuiti U(1) generici è che possiedono parametri aggiuntivi (chiamati B e D nello studio originale) rispetto al più noto circuito XXZ. Questi parametri aprono la porta a fenomeni completamente nuovi. Per esempio, nel circuito XXZ (dove B=D=0), il punto critico dove si osserva la superdiffusione coincide con il punto isotropo XXX, dove la simmetria SU(2) è palese. Ma con B e D diversi da zero, la condizione di criticità (espressa da una formula matematica | D | = 1, dove D è una funzione complessa dei parametri del gate) non implica più una simmetria SU(2) ovvia.

Eppure, è proprio su questa “varietà critica” tridimensionale che la nostra simmetria SU(2) disomogenea nascosta fa la sua comparsa e guida la superdiffusione. Questo ci dice una cosa fondamentale: la criticità e l’isotropia (cioè l’invarianza per rotazioni uguali in tutte le direzioni) sono concetti distinti. È la simmetria SU(2) disomogenea, e non l’isotropia, quella che conta per il trasporto in questi sistemi.

Un altro aspetto intrigante è la comparsa di simmetrie U_q(sl₂) in certi punti specifici nella fase diffusiva. Queste sono “cugine deformate” delle simmetrie SU(2), dove ‘q’ è un parametro di deformazione. Se ‘q’ non è una radice dell’unità (cioè q^m ≠ ±1 per ogni intero m), le multiplette spettrali sono identiche a quelle di SU(2). Questo ci permette di costruire esplicitamente i generatori SU(2) corrispondenti. Tuttavia, abbiamo scoperto che questi generatori, pur essendo composti da pochi termini (quasi “few-body”), sono intrinsecamente non locali: contengono termini che accoppiano qubit molto distanti tra loro. E, come detto prima, questa non-località li rende irrilevanti per il trasporto di magnetizzazione, che rimane diffusivo.

È interessante come, accendendo il parametro B, la simmetria SU(2) del modello XXZ si “sdoppi”: una parte acquisisce una fase di “staggering” (alternanza tra siti pari e dispari) e rimane locale – questa è la nostra simmetria SU(2) a vite critica. L’altra parte mantiene un’invarianza traslazionale semplice ma diventa non locale – questa è la U_q(sl₂).

Fenomeni di Trasporto: Un Arcobaleno di Comportamenti

Armati di questa nuova comprensione delle simmetrie, possiamo finalmente dare un senso al ricco panorama del trasporto di magnetizzazione.
Nella regione critica (| D | = 1), la simmetria SU(2) disomogenea “nascosta”, i cui generatori sono somme di termini locali a un corpo, ci porta dritti alla superdiffusione KPZ, con un esponente dinamico z = 3/2. Questo l’abbiamo confermato con simulazioni numeriche su larga scala, osservando sia la crescita del trasferimento di magnetizzazione nel tempo sia la funzione di correlazione a due punti che segue la tipica forma di scala KPZ.

Una cosa curiosa: se si parte con uno stato polarizzato in una direzione “ruotata” (la direzione x̃ definita dalla nostra simmetria a vite), che è una sorta di stato a elica, a causa delle violazioni di simmetria ai bordi del sistema (che è finito), si forma un fronte superdiffusivo che si propaga dai bordi stessi. Questo spiega perché nelle simulazioni KPZ di alta precisione servono sistemi più grandi di quanto ci si aspetterebbe: ci sono due “coni di luce” superdiffusivi, uno dal centro e uno dai bordi!

Nella fase I (| D | > 1), inclusi i punti con la simmetria U_q(sl₂) non locale, troviamo diffusione. La natura non locale dei generatori SU(2) associati è sufficiente a rendere tale simmetria ininfluente per il trasporto. In questa fase, ci sono anche punti di localizzazione, che si verificano quando il gate diventa diagonale e il “salto” di magnetizzazione viene annullato.

Infine, c’è la fase balistica II (| D | < 1). Qui, la velocità di trasporto (il cosiddetto “peso di Drude”) mostra una dipendenza frattale da qualsiasi parametro generico. Variando, ad esempio, la durata del gate τ, si attraversano ripetutamente regioni di fase II, e all’interno di ciascuna di esse la velocità di trasporto è un frattale. Questa struttura frattale deriva da cariche conservate quasi-locali, che possono essere costruite quando il parametro ‘q’ della simmetria U_q(sl₂) è una radice dell’unità (q = e^iπp/m). I picchi frattali più forti si verificano per piccoli valori di ‘m’.

Implicazioni e Prospettive Future

Questa ricerca ci insegna quanto possa essere sottile e sorprendente la natura delle simmetrie. Per osservare la superdiffusione, i generatori SU(2) devono essere locali, anche se non devono essere conservati in modo esatto (piccole violazioni ai bordi in sistemi finiti sono ammesse).
Abbiamo generalizzato la condizione di criticità del modello XXZ a qualsiasi circuito U(1), mostrando che la coincidenza tra criticità e isotropia nel modello XXZ è, in un certo senso, un caso fortuito. È la simmetria SU(2) disomogenea, con i suoi generatori che “vivono” a momento non nullo, a essere la vera protagonista.

Ci sono molte domande aperte. Sarebbe affascinante capire meglio come la simmetria SU(2) locale del modello XXZ si scinda nella SU(2) locale “staggered” e nella U_q(sl₂) non locale quando si introduce il parametro B. E quali conseguenze fisiche potrebbero avere le simmetrie U_q(sl₂) esatte che appaiono in punti specifici? Potrebbero diventare rilevanti con termini di bordo appropriati?

La capacità di utilizzare qualsiasi gate U(1) senza una sintonizzazione fine dei parametri è sperimentalmente attraente. Anche se sondare direttamente la natura disomogenea dei generatori di simmetria potrebbe essere una sfida, osservare la formazione di stati a elica ai bordi potrebbe essere un’alternativa.

Insomma, il mondo dei sistemi quantistici integrabili continua a stupirci con strutture matematiche bellissime che hanno conseguenze fisiche tangibili, pronte per essere esplorate sia teoricamente che, speriamo presto, sperimentalmente. È un promemoria che, anche nei sistemi più “ordinati” in apparenza, possono nascondersi complessità e comportamenti inaspettati, pronti a ridefinire la nostra comprensione del mondo quantistico. E io, da umile esploratore di queste frontiere, non vedo l’ora di scoprire cosa ci riserverà la prossima sorpresa!

Fonte: Springer