Jacobiane Scomposte e Sottovarietà di Shimura: Viaggio al Cuore di (A_g)!

Amici appassionati di matematica e dei suoi misteri più reconditi, oggi voglio portarvi con me in un’avventura affascinante nel mondo della geometria algebrica. Parleremo di curve, delle loro “ombre” chiamate Jacobiane, e di certi “quartieri” molto speciali all’interno di un vasto spazio chiamato (A_g), noti come sottovarietà di Shimura. Il nostro obiettivo? Capire come, usando la scomposizione delle Jacobiane sotto l’azione di gruppi, possiamo dimostrare che certe famiglie di curve non danno origine a queste elusive sottovarietà di Shimura. Pronti a partire?

Le Curve, le Loro Jacobiane e la Mappa di Torelli

Immaginate una famiglia di curve algebriche proiettive complesse, lisce, tutte dello stesso genere g. Ad ognuna di queste curve possiamo associare un oggetto incredibilmente ricco di informazioni: la sua Jacobiana, indicata con [J(C)]. La Jacobiana è una varietà abeliana principalmente polarizzata, una sorta di versione “linearizzata” e più strutturata della curva originale. Esiste una mappa, detta mappa di Torelli ((tau)), che prende una curva [C] e la spedisce alla sua Jacobiana [J(C)]. Un teorema classico, il teorema di Torelli, ci dice che questa mappa è iniettiva: curve diverse (non isomorfe) hanno Jacobiane diverse (non isomorfe).

Le Jacobiane vivono tutte insieme in un grande “contenitore”, lo spazio dei moduli (A_g) delle varietà abeliane g-dimensionali principalmente polarizzate. Questo (A_g) non è uno spazio qualsiasi: ha la struttura di una varietà di Shimura. Per i più tecnici tra voi, (A_g = Gamma_g(l) backslash mathbb{H}_g), dove (mathbb{H}_g) è lo spazio di Siegel di genere g e (Gamma_g(l)) è un certo sottogruppo di congruenza principale. Quando l è un intero dispari (ge 3), (Gamma_g(l)) è privo di torsione e il quoziente è una sottovarietà complessa liscia. Pensate a (mathbb{H}_g) come a ({{,textrm{Sp},}}_{2g}({{mathbb {R}}})/U(g)).

Le Sottovarietà Speciali (o di Shimura)

All’interno di questo vasto (A_g), ci sono delle sottovarietà particolarmente interessanti, chiamate sottovarietà speciali o, appunto, sottovarietà di Shimura. Queste non sono sottovarietà qualsiasi; hanno una struttura algebrica ben definita, della forma (Gamma_g(l) backslash mathbb{L}), dove (mathbb{L}) deriva da un sottogruppo algebrico (G({{mathbb {R}}})) immerso in ({{,textrm{Sp},}}_{2g}({{mathbb {R}})). Una delle loro proprietà più affascinanti è che sono totalmente geodetiche. Immaginatele come delle “autostrade” perfettamente dritte all’interno del paesaggio curvo di (A_g).

Noi, in questo studio, ci concentriamo su famiglie di curve (f:{{mathcal {C}}}rightarrow T) che sono rivestimenti G-Galoisiani della retta proiettiva complessa ({{mathbb {P}}}^1), e vogliamo capire quando queste famiglie generano sottovarietà speciali in (A_g). Molti matematici si sono cimentati in questa impresa prima di noi, cercando di capire i segreti di queste strutture.

Il Potere della Scomposizione: Azione di Gruppo sulle Varietà Abeliane

Uno strumento potentissimo che abbiamo a disposizione è la teoria della scomposizione delle varietà abeliane quando un gruppo finito G agisce su di esse. Se un gruppo G agisce su una varietà abeliana A (come la nostra Jacobiana J(C)), questa azione induce un omomorfismo dall’algebra di gruppo razionale (mathbb{Q}[G]) all’anello degli endomorfismi (a meno di omotetie razionali) di A, cioè ({{,textrm{End},}}_{{{mathbb {Q}}}}(A)). Questo omomorfismo ci permette di “spezzare” A in componenti più semplici, fino a isogenia.

L’algebra (mathbb{Q}[G]) è semisemplice e si decompone in un prodotto di algebre semplici (Q_1, ldots, Q_r). Corrispondentemente, se (W_1, ldots, W_r) sono le rappresentazioni irriducibili su (mathbb{Q}) di G, e (n_i = dim_{D_i}(W_i)) (dove (D_i = {{,textrm{End},}}_G(W_i))), allora esistono sottovarietà abeliane (Y_1, ldots, Y_r) di A tali che A è isogena a (Y_1^{n_1} times cdots times Y_r^{n_r}). Questa è la cosiddetta scomposizione tramite algebra di gruppo. È un po’ come guardare un oggetto complesso attraverso delle lenti speciali che ne rivelano le componenti fondamentali legate alle simmetrie imposte dal gruppo G.

Nel nostro caso, A è la Jacobiana J(X) di una curva proiettiva liscia X, che è una varietà abeliana principalmente polarizzata. Ci concentreremo su famiglie di rivestimenti di Galois della retta proiettiva ({{mathbb {P}}}^1).

I Rivestimenti di Galois di ({{mathbb {P}}}^1) e il “Datum”

Come si descrivono questi rivestimenti? Prendiamo un insieme finito di punti (Delta = {t_1, ldots, t_r}) su ({{mathbb {P}}}^1). Il gruppo fondamentale di ({{mathbb {P}}}^1 setminus Delta) ha una presentazione ben nota con generatori (gamma_1, ldots, gamma_r) tali che (gamma_1 cdots gamma_r = 1). Se abbiamo un rivestimento di Galois (C rightarrow {{mathbb {P}}}^1) con gruppo di Galois G e punti di diramazione in (Delta), allora esiste un epimorfismo dal gruppo fondamentale (pi_1({{mathbb {P}}}^1 setminus Delta)) a G. Questo ci porta alla definizione di un datum: una tripla (({{textbf {m}}}, G, Phi)), dove ({{textbf {m}}} = (m_1, ldots, m_r)) è una r-upla di interi (m_i ge 2) (gli ordini di ramificazione), G è un gruppo finito, e (Phi) è un epimorfismo da (Gamma_r) (il gruppo fondamentale) a G tale che (Phi(gamma_i)) ha ordine (m_i). Il teorema di esistenza di Riemann ci assicura che un tale datum determina completamente il rivestimento.

Un Trucco Fondamentale: Dai Rivestimenti ai Loro Quozienti

Ecco uno degli strumenti chiave che usiamo per escludere che certe famiglie generino sottovarietà di Shimura. Supponiamo di avere una famiglia ({{mathcal {C}}}rightarrow T) di G-rivestimenti di ({{mathbb {P}}}^1) data da un datum (({{textbf {m}}}, G, Phi)). Se questa famiglia dà origine a una sottovarietà di Shimura nel luogo di Torelli (T_g), allora considerate un qualsiasi sottogruppo normale (N lhd G). Possiamo formare il gruppo quoziente (G’ = G/N) e considerare la famiglia di rivestimenti quoziente ({overline{C}} = C/N rightarrow {{mathbb {P}}}^1), che corrisponderà a un nuovo datum (({{textbf {m}}}’, G’, Phi’)). Ebbene, anche questa famiglia quoziente deve generare una sottovarietà di Shimura in (T_{g’}) (dove (g’) è il genere delle curve ({overline{C}})).

Questo è potentissimo! Se riusciamo a trovare un quoziente “semplice” la cui famiglia associata non è una sottovarietà di Shimura, allora possiamo concludere che nemmeno la famiglia originale, più complessa, lo era. La logica è che la Jacobiana del quoziente, (J(overline{C})), è un fattore (a meno di isogenia) della Jacobiana originale (J(C)). Se la famiglia originale è “speciale” (cioè di Shimura), anche le sue “parti” devono esserlo.

Monodromia, Strutture di Hodge e Gruppi di Mumford-Tate

Quando abbiamo una famiglia di curve (f:{{mathcal {C}}}rightarrow T), il sistema locale ({mathcal {L}}=R^{1}f_{*}{mathbb {C}}) dà origine a una variazione polarizzata di strutture di Hodge (PVHS) di peso 1. Associata a questa c’è una rappresentazione di monodromia. La chiusura di Zariski dell’immagine di questa rappresentazione è il gruppo di monodromia di ({mathcal {L}}), e la sua componente connessa dell’identità la denotiamo con ({{,textrm{Mon},}}^{0}({mathcal {L}})).

Per le famiglie di rivestimenti ciclici ({{mathbb {Z}}}_m)-covers di ({{mathbb {P}}}^1), la PVHS si decompone secondo l’azione del gruppo di Galois ({{mathbb {Z}}}_m). Gli autospazi ({mathcal {L}}_i) sono ancora variazioni di strutture di Hodge. Se (h^{1,0}(({mathcal {L}}_i)_t) = a) e (h^{0,1}(({mathcal {L}}_i)_t) = b), diciamo che ({mathcal {L}}_i) è di tipo (a,b). Il gruppo di monodromia ({{,textrm{Mon},}}^{0}({mathcal {L}}_i)) è contenuto in U(a,b). In molti casi, specificamente quando (d_i d_{-i} ne 0) (dove (d_i=a, d_{-i}=b)), si sa che ({{,textrm{Mon},}}^{0}({mathcal {L}}_i)) è (hbox {SU}(d_i, d_{-i})), a meno che m non sia pari e i di ordine 2, nel qual caso è (hbox {Sp}_{2d_i}).

Se la nostra famiglia (f:{{mathcal {C}}}rightarrow T) dà origine a una sottovarietà di Shimura in (A_g), allora il gruppo di monodromia connesso ({{,textrm{Mon},}}^{0}) è un sottogruppo normale del gruppo di Mumford-Tate generico M della famiglia. Anzi, in tal caso, ({{,textrm{Mon},}}^{0}=M^{der}) (la componente derivata di M). Il gruppo M è un gruppo algebrico riduttivo su (mathbb{Q}), e ad esso è associata una varietà di Shimura naturale (S_f), che è la più piccola sottovarietà speciale contenente l’immagine Z di T in (A_g).

La dimensione di (S_f) dipende dal gruppo aggiunto reale (M^{ad}_{mathbb{R}}). Se (M^{ad}_{mathbb{R}} = Q_1 times cdots times Q_r) è la decomposizione in fattori (mathbb{R})-semplici, allora (dim S_f = sum delta(Q_i)). La quantità (delta(Q_i)) è la dimensione dello spazio simmetrico associato a (Q_i) se (Q_i(mathbb{R})) non è compatto, e 0 altrimenti. Per esempio, per (Q = hbox{PSU}(p,q)), (delta(Q) = pq), e per (Q = hbox{PSp}_{2p}), (delta(Q) = p(p+1)/2). La famiglia Z è una sottovarietà di Shimura se e solo se (dim Z = dim S_f = l-3), dove l è il numero di punti di diramazione dei rivestimenti nella famiglia.

La nostra strategia, quindi, è trovare autospazi ({mathcal {L}}_{j_i}) di quozienti ciclici della famiglia che danno origine a fattori semplici (Q_i) tali che (sum delta(Q_i) > l-3). Se questo accade, significa che (dim S_f > l-3), e quindi la famiglia non può essere una famiglia di Shimura (perché la sua immagine Z avrebbe dimensione (l-3), troppo piccola per riempire (S_f)).

Caso Studio 1: Rivestimenti Diedrali (D_{2p})

Consideriamo ora i gruppi diedrali (D_{2p}), dove p è un primo dispari. Questi gruppi hanno elementi di “rotazione” e di “riflessione”. Un risultato preliminare ci dice che il numero di punti di diramazione il cui stabilizzatore è una riflessione deve essere un numero pari non nullo.

Supponiamo di avere una famiglia di (D_{2p})-rivestimenti di ({{mathbb {P}}}^1) con l punti di diramazione. Sia k il numero di punti di diramazione il cui stabilizzatore è una riflessione. Supponiamo inoltre che tutti gli stabilizzatori che sono “rotazioni” (elementi in (langle r rangle)) siano della forma (r^u) con u dispari. Ebbene, la nostra analisi mostra che se (k > 10), allora l’immagine di questa famiglia tramite la mappa di Torelli non è una sottovarietà di Shimura.

Come lo dimostriamo? Consideriamo due sottogruppi normali di indice 2: (N = langle r rangle) e (D_p = langle r^2, s rangle).

1. Il quoziente (C_t/N rightarrow {{mathbb {P}}}^1) è una famiglia di (mathbb{Z}_2)-rivestimenti con k punti di ramificazione di tipo “1”. L’autospazio ({mathcal{L}}_1) di questa famiglia è di tipo ((frac{k}{2}-1, frac{k}{2}-1)), e quindi contribuisce con (delta({{mathcal{L}}}) = frac{1}{8}k(k-2)) alla dimensione della (S_f) della famiglia originale.
2. Il quoziente (C_t/D_p rightarrow {{mathbb {P}}}^1) è un’altra famiglia di (mathbb{Z}_2)-rivestimenti con almeno (l-k) punti di ramificazione di tipo “1”. Questo contribuisce con (delta({{mathcal{M}}}) ge frac{1}{8}(l-k)(l-k-2)).

La dimensione della più piccola sottovarietà di Shimura contenente la nostra famiglia originale è almeno (delta({{mathcal{L}}}) + delta({{mathcal{M}}})). Se questa somma è maggiore di (l-3) (la dimensione attesa se fosse una famiglia di Shimura), allora la famiglia non è speciale. Si verifica che la disuguaglianza (frac{1}{8}k(k-2) + frac{1}{8}(l-k)(l-k-2) > l-3) è soddisfatta se (k > 10). È interessante notare che le famiglie 1-dimensionali di (D_{2p})-rivestimenti note per dare sottovarietà di Shimura non soddisfano la condizione che gli stabilizzatori in (langle r rangle) siano tutti di tipo (r^u) con u dispari, suggerendo che tali famiglie di Shimura potrebbero non esistere.

Caso Studio 2: Rivestimenti Quaternionici (Q_8)

Passiamo ora al gruppo dei quaternioni (Q_8 = {pm 1, pm i, pm j, pm k}). Per un rivestimento (X rightarrow Y) con gruppo (Q_8), la Jacobiana (J(X)) è isogena a (J(X/langle i rangle) times J(X/langle j rangle) times J(X/langle k rangle) times J(X/langle -1 rangle)^2), dove (langle k rangle) è in realtà (langle ij rangle). (Nota: la formula originale nel testo usa (P(C_{langle i rangle}/{mathbb{P}}^1)) etc., che sono Jacobiane relative, ma qui semplifico per il flusso).

Una famiglia nota di (Q_8)-rivestimenti di ({{mathbb {P}}}^1) data dai dati di monodromia (2, 4, 4, 4) è una famiglia di Shimura. In questo caso, si scopre che (C/langle i rangle), (C/langle j rangle), (C/langle ij rangle) sono tutte isomorfe a ({{mathbb {P}}}^1) (genere 0), e (C/langle -1 rangle) è anche isomorfa a ({{mathbb {P}}}^1). Il rivestimento (C rightarrow C/langle -1 rangle = {{mathbb {P}}}^1) è un doppio rivestimento ramificato su 10 punti, il che rende C una curva iperellittica di genere 4. Quindi, la Jacobiana (J(C)) è “pura” in un certo senso, e la famiglia è una curva di Shimura contenuta nel luogo iperellittico.

Siamo riusciti a dimostrare un risultato interessante: una famiglia 1-dimensionale di (Q_8)-rivestimenti di ({{mathbb {P}}}^1) tale che la Jacobiana (J(C_t)) sia una varietà abeliana semplice (cioè non ulteriormente scomponibile) è necessariamente una famiglia iperellittica e il suo dato di monodromia è (2, 4, 4, 4). La chiave è che se (J(C_t)) è semplice, allora (J(C/langle -1 rangle)) deve essere banale, il che implica (C/langle -1 rangle simeq {{mathbb {P}}}^1). Questo forza la ramificazione su almeno un punto ad essere data dall’elemento (-1), portando ai dati (2, 4, 4, 4).

Da questo, ne consegue un corollario importante: non esiste una famiglia di Shimura 1-dimensionale di (Q_8)-rivestimenti non iperellittici di ({{mathbb {P}}}^1). Se esistesse una tale famiglia non iperellittica, non potrebbe avere punti di diramazione con ramificazione (-1) (altrimenti sarebbe iperellittica, una contraddizione). Questo costringerebbe i dati di monodromia ad essere del tipo (4, 4, 4, 4). Ma con questi dati, la formula di Riemann-Hurwitz dà genere (g(C)=5). Tuttavia, lavori precedenti (ad esempio [7, Table 2] nel testo originale) mostrano che non esistono curve di Shimura che parametrizzano curve non iperellittiche di genere 5 con gruppo di Galois (Q_8).

Conclusioni (Provvisorie) di un Viaggio Entusiasmante

Come abbiamo visto, armati degli strumenti giusti – la scomposizione delle Jacobiane tramite azione di gruppo, l’analisi dei quozienti, lo studio dei gruppi di monodromia e Mumford-Tate, e attenti calcoli dimensionali – possiamo iniziare a tracciare una mappa più precisa di quali famiglie di curve possono o non possono dare origine a quelle affascinanti strutture note come sottovarietà di Shimura. Per i gruppi diedrali (D_{2p}) e il gruppo dei quaternioni (Q_8), abbiamo trovato condizioni specifiche che escludono la formazione di tali sottovarietà. Questo non è solo un esercizio di stile matematico, ma un passo avanti nella comprensione della profonda interazione tra teoria dei gruppi, geometria delle curve e la struttura degli spazi dei moduli. E, come sempre in matematica, ogni risposta apre la porta a nuove, stimolanti domande!

Fonte: Springer