Regola di Born: La Probabilità Quantistica è Davvero Classica?

Avete mai sentito parlare della meccanica quantistica? Quel mondo incredibilmente affascinante e, diciamocelo, un po’ strano, dove le particelle possono essere in più posti contemporaneamente e il semplice atto di osservare sembra cambiare la realtà? Uno dei pilastri, e anche uno dei misteri più grandi, di questo mondo è la Regola di Born. È la formula magica che ci dice la probabilità di trovare una particella in un certo stato dopo una misurazione. Ma da dove salta fuori questa regola? E se vi dicessi che, forse, sotto sotto, la probabilità quantistica non è poi così diversa da quella a cui siamo abituati nel mondo classico, quello dei dadi e delle monete? Sembra folle, vero? Eppure, seguitemi in questo viaggio, perché esploreremo un’idea intrigante: la Regola di Born potrebbe emergere da una concezione della probabilità molto simile a quella classica.

Cos’è la Regola di Born e Perché è un Rompicapo?

In parole povere, la meccanica quantistica descrive lo stato di un sistema (come un elettrone) usando qualcosa chiamato “funzione d’onda”, spesso indicata con la lettera greca psi ((psi)). Questa funzione d’onda contiene tutte le informazioni sul sistema, ma in modo probabilistico. Quando misuriamo una proprietà (come la posizione o lo spin), il sistema “sceglie” uno dei possibili risultati. La Regola di Born, formulata da Max Born, ci dice come calcolare la probabilità di ottenere un risultato specifico: è data dal quadrato del modulo dell’ampiezza della funzione d’onda associata a quel risultato (matematicamente, (P = |psi|^2)).

Per decenni, i fisici si sono chiesti perché proprio il quadrato? Perché non qualcos’altro? E cosa significa veramente questa probabilità? È solo una misura della nostra ignoranza, o c’è qualcosa di più profondo? Il famoso teorema di Gleason ci dice che *se* esiste una regola di probabilità consistente in meccanica quantistica, *deve* avere la forma della Regola di Born. Ma non ci spiega *perché* la probabilità esista in primo luogo, né cosa rappresenti veramente. La ricerca di una derivazione fondamentale della Regola di Born è ancora oggi un campo di ricerca attivissimo.

La Probabilità Classica: Un Promemoria

Pensiamo a come funziona la probabilità nel mondo di tutti i giorni. Se lancio un dado a sei facce non truccato, qual è la probabilità che esca un 4? È 1/6. Perché? Perché c’è un solo risultato favorevole (il 4) su un totale di sei risultati possibili (1, 2, 3, 4, 5, 6), e assumiamo che ogni risultato sia ugualmente probabile (il famoso “Principio di Indifferenza”).

Più in generale, la probabilità classica di un evento (un “macrostato”, come “ottenere un numero pari”) è data dal rapporto tra il numero (o la “misura”) degli stati microscopici (“microstati”) favorevoli e il numero (o la “misura”) totale degli stati microscopici possibili. Ad esempio, ottenere un numero pari (macrostato) può avvenire in 3 modi (microstati: 2, 4, 6) su 6 totali, quindi la probabilità è 3/6 = 1/2. Questa visione si basa sull’idea che il sistema si trovi *effettivamente* in uno specifico microstato, ma noi non sappiamo quale. La probabilità nasce dalla nostra ignoranza.

Ostacoli Quantistici: Superposizione e Basi Mutevoli

Applicare direttamente questa idea alla meccanica quantistica sembra problematico per almeno due motivi principali:

• Superposizione: Un sistema quantistico può esistere in una “sovrapposizione” di più stati contemporaneamente, non in un singolo microstato definito (almeno fino alla misurazione).
• Dipendenza dalla Misura: Sembra che l’insieme dei possibili “microstati” dipenda da *cosa* decidiamo di misurare. Misurare lo spin lungo l’asse Z scompone lo stato in su/giù rispetto a Z; misurarlo lungo X lo scompone in su/giù rispetto a X. Le basi di stati sembrano cambiare con l’esperimento! Questo è molto diverso dal mondo classico, dove pensiamo che le proprietà esistano indipendentemente da come le misuriamo.

Queste differenze sembrano rendere impossibile trattare la probabilità quantistica come quella classica. Ma siamo sicuri?

La Chiave: Una Base “Ontica” per l’Universo?

L’idea che vi propongo, e che è al centro del lavoro discusso nel testo originale, è che forse stiamo guardando il problema dalla prospettiva sbagliata. È vero che per un *sottosistema* (come un singolo elettrone), la base di stati rilevante dipende dalla misurazione. Ma cosa succede se consideriamo l’intero universo?

Ogni misurazione, alla fine, si riduce a osservare uno stato *macroscopico* del dispositivo di misura (la posizione di un ago, un numero su un display). E gli stati macroscopici, quelli che possiamo distinguere nel mondo reale, hanno una proprietà cruciale: commutano tra loro. Questo significa che possiamo, in linea di principio, misurarli tutti simultaneamente senza che uno influenzi l’altro.

Questo apre una possibilità affascinante: potrebbe esistere una base di stati universale per l’intero universo, una base “ontica” (cioè che rappresenta la realtà fondamentale), compatibile con *tutte* le possibili osservazioni macroscopiche. Gli elementi di questa base sarebbero i veri “microstati” dell’universo. Chiamiamoli “stati ontici”.

Crucialmente, per far funzionare la matematica che vedremo tra poco, questa base deve essere continua, non discreta come le facce di un dado. Pensate alla posizione di una particella: può assumere un’infinità continua di valori. E, guarda caso, tutte le misurazioni realistiche che conosciamo si riducono, in ultima analisi, a misurazioni di posizione (la posizione dell’ago, la posizione di un punto su uno schermo…). Quindi, l’ipotesi di una base continua (come la base delle posizioni) è fisicamente plausibile.

La Magia della Base Continua: Derivare la Regola di Born

Ed ecco dove le cose si fanno interessanti. Se accettiamo l’esistenza di questa base ontica continua, succede qualcosa di quasi magico. Ricordate la probabilità classica: rapporto tra stati favorevoli e stati totali? Nel caso discreto (come il dado), funziona bene se tutti gli stati base hanno la stessa “importanza” o ampiezza nella descrizione dello stato totale. Ma uno stato quantistico generico (psi) è una sovrapposizione con ampiezze *diverse* per i vari stati base.

Tuttavia, in una base *continua*, possiamo fare un trucco matematico (descritto nel Teorema 1 del testo originale). Possiamo ridefinire la “misura” (il modo in cui “pesiamo” le regioni dello spazio degli stati) in modo tale che, rispetto a questa nuova misura, lo stato quantistico (psi) appaia come una sovrapposizione di stati ontici (phi) *tutti con la stessa ampiezza* (ampiezza unitaria)! In pratica, assorbiamo l’ampiezza originale (|psi(phi)|) nella definizione della misura stessa ((dwidetilde{mu} = |psi(phi)| dmu)).

Una volta fatto questo, il calcolo della probabilità diventa identico a quello classico! La probabilità di ottenere un risultato macroscopico (alpha) è semplicemente la “misura” (secondo la nuova misura (widetilde{mu})) della regione di stati ontici (mathcal{C}_{alpha}) compatibili con quel risultato, divisa per la misura totale. E, come per magia, questo rapporto risulta essere esattamente (int_{mathcal{C}_{alpha}} |psi(phi)|^2 dmu), che è la Regola di Born!

Incredibile, vero? La probabilità quantistica emergerebbe come un semplice “conteggio” (nel senso di misura continua) di stati ontici fondamentali, proprio come la probabilità classica emerge dal conteggio dei microstati. La densità di questi stati ontici è data proprio da (|psi|^2).

Onde, Campi e Fasi: L’Interpretazione Fisica

Ma cosa sono questi “stati ontici” (phi)? Una candidata naturale emerge dalla teoria quantistica dei campi (QFT) nella sua formulazione “wavefunctional”. Qui, lo stato quantistico dell’universo (Psi) non è una funzione d’onda di particelle, ma un “funzionale d’onda” definito sullo spazio delle possibili configurazioni di campi classici (phi) (come il campo elettromagnetico, i campi di materia, ecc.).

In questa visione, ogni “stato ontico” (phi) è una possibile configurazione classica dei campi nell’universo – un “mondo classico” istantaneo. La funzione d’onda (Psi[phi]) ci dice come questi mondi classici si combinano per formare lo stato quantistico totale.

E la fase complessa della funzione d’onda ((psi = |psi|e^{itheta}))? Abbiamo visto che (|psi|) determina la densità degli stati ontici. La fase (e^{itheta}) può essere elegantemente assorbita interpretandola come una trasformazione di gauge U(1) applicata ai campi classici (phi) stessi. Le trasformazioni di gauge sono ridondanze nella descrizione classica (due configurazioni di campo legate da una trasformazione di gauge rappresentano la stessa fisica classica), ma qui acquisiscono un ruolo dinamico fondamentale, permettendo all’insieme di mondi classici di evolvere secondo l’equazione di Schrödinger per (Psi).

Quindi, lo stato quantistico dell’universo può essere visto come un insieme (un “ensemble”) di mondi classici (configurazioni di campo (phi)), ciascuno con una certa densità ((|Psi[phi]|^2)) e una certa fase di gauge ((theta[phi])).

E se i Mondi Fossero Molti? Implicazioni per MWI

Questa interpretazione ci porta molto vicini all’Interpretazione a Molti Mondi (MWI) della meccanica quantistica. Se lo stato quantistico è davvero un insieme di “mondi” classici coesistenti (gli stati ontici (phi)), allora la misurazione non provoca un “collasso” in un singolo risultato, ma semplicemente una “ramificazione” dell’universo. Dopo una misurazione con risultati (alpha) e (beta), esisteranno mondi in cui si è ottenuto (alpha) e mondi in cui si è ottenuto (beta).

In questo quadro, la probabilità della Regola di Born non è più legata all’ignoranza dello stato *prima* della misura, ma diventa una probabilità di auto-localizzazione: data la ramificazione, qual è la probabilità che *io* mi trovi in un mondo del tipo (alpha)? Il nostro calcolo basato sulla misura degli stati ontici fornisce direttamente questa probabilità: è proporzionale alla “quantità” di mondi (alpha), pesata dalla densità (|Psi[phi]|^2). Questo risolve uno dei problemi storici della MWI: come giustificare la Regola di Born dal semplice “conteggio dei rami”. Qui, il conteggio è un conteggio *pesato* dalla densità degli stati ontici fondamentali.

Confronto e Vantaggi: Un Nuovo Sguardo sul Quantistico

Questa idea di collegare la probabilità quantistica a distribuzioni di “mondi” o configurazioni classiche non è completamente nuova. Ci sono somiglianze con alcune versioni della teoria di Bohm (specialmente nelle idee di Bell o Tipler) e con approcci più recenti come i “molti mondi interagenti”.

Tuttavia, l’approccio discusso qui, basato sulla base ontica continua e sulla formulazione wavefunctional della QFT, ha alcuni aspetti distintivi:

• Si basa sulla QFT, che è più fondamentale della meccanica quantistica non relativistica.
• Identifica gli “stati ontici” con configurazioni di campi classici, fornendo “beables locali” (entità reali nello spazio-tempo) come richiesto da Bell.
• Integra la fase quantistica come gauge dei campi classici, permettendo potenzialmente di recuperare l’intera funzione d’onda dall’insieme dei mondi classici, senza bisogno di postularla come entità separata che “guida” i mondi.
• Fornisce una derivazione della Regola di Born come probabilità classica (di auto-localizzazione) basata sulla misura degli stati ontici.

In sostanza, questa prospettiva suggerisce che la meccanica quantistica potrebbe essere vista come una sorta di “meccanica statistica” applicata a un enorme insieme di mondi classici (configurazioni di campo) coesistenti e interagenti in modo sottile (attraverso la fase/gauge), dove la probabilità emerge naturalmente dal “conteggio” di questi mondi.

È un’idea potente e, per me, affascinante. Non elimina la stranezza quantistica, ma forse la riconduce a un quadro concettuale più familiare, quello della probabilità come misura di possibilità alternative. Che ne pensate? Potrebbe davvero la complessità della probabilità quantistica nascondersi dietro un’elegante semplicità classica, mascherata solo dalla vastità e dalla natura continua dei “dadi” cosmici che l’universo sta lanciando? La ricerca continua…

Fonte: Springer