Il Sogno Infranto di Gödel: Alla Ricerca degli Assiomi Perduti della Matematica

Ciao a tutti! Oggi voglio portarvi in un viaggio affascinante nel cuore della matematica, un luogo dove le certezze vacillano e le domande fondamentali sull’infinito ci lasciano a bocca aperta. Parleremo del “Programma di Gödel” nella teoria degli insiemi. Tranquilli, cercherò di renderlo il più intrigante possibile, senza trasformarlo in una lezione universitaria!

Tutto inizia con un nome che forse avrete sentito: Kurt Gödel. Negli anni ’30, questo gigante della logica ci ha dato una bella scossa con i suoi famosi Teoremi di Incompletezza. Cosa ci dicono, in parole povere? Che qualsiasi sistema di assiomi abbastanza potente per descrivere l’aritmetica (come gli assiomi ZFC, Zermelo-Fraenkel con Assioma di Scelta, che sono un po’ le fondamenta su cui poggia gran parte della matematica moderna) è destinato a essere incompleto. Ci saranno sempre affermazioni matematiche vere che non potremo né dimostrare né confutare usando solo quegli assiomi. Un bel colpo per chi pensava che la matematica fosse un edificio perfetto e completo!

Pochi anni dopo, Gödel stesso dimostrò un altro risultato pazzesco: la famosa Ipotesi del Continuo (CH) di Cantor è consistente con gli assiomi ZFC. L’Ipotesi del Continuo, detta in modo super informale, cerca di rispondere alla domanda: “Quanti numeri reali ci sono?”. Cantor aveva dimostrato che ci sono “più” numeri reali che numeri naturali (il primo infinito, chiamato Aleph-zero, |ℕ|), ma si chiedeva se esistesse un infinito “intermedio” tra quello dei naturali e quello dei reali (|ℝ|). L’ipotesi dice di no. Gödel dimostrò che *non possiamo* usare ZFC per dimostrare che CH è falsa.

Il Sogno di Gödel: Trovare Nuovi Assiomi

A questo punto, Gödel si pose una domanda cruciale: ok, ZFC non basta, ma forse possiamo estenderlo? Magari aggiungendo nuovi assiomi, così potenti e “naturali” da decidere queste questioni rimaste aperte, come l’Ipotesi del Continuo? L’idea di Gödel era che, magari, aggiungendo assiomi che postulano l’esistenza di infiniti sempre più “grandi” (i cosiddetti assiomi dei grandi cardinali), saremmo riusciti a risolvere tutte queste indecidibilità. Un programma ambizioso: riparare l’incompletezza della matematica trovando gli assiomi “giusti”.

Sembrava un piano geniale, no? Peccato che, come spesso accade nella scienza, le cose si siano rivelate più complicate.

Il Colpo di Scena: I Grandi Cardinali Non Bastano (da soli)

Il sogno di Gödel, almeno nella sua forma originale, si infranse contro il teorema di Levy-Solovay. Questo teorema dimostra che anche aggiungendo gli assiomi dei grandi cardinali a ZFC, l’Ipotesi del Continuo rimane indecidibile! Possiamo costruire modelli matematici in cui esistono grandi cardinali e CH è vera, e altri modelli, altrettanto validi, in cui esistono grandi cardinali e CH è falsa. Che delusione! I grandi cardinali, da soli, non erano la chiave universale.

Ma la ricerca non si è fermata. Anzi, si è aperta a nuove, affascinanti direzioni. Sono emerse altre “gerarchie” di assiomi, profondamente connesse ai grandi cardinali, che sembrano avere molto più successo nel decidere questioni come CH. Sto parlando principalmente di due famiglie: gli Assiomi di Determinatezza e gli Assiomi di Forcing.

I Cardinali Giganti: Esplorando l’Infinito

Prima di andare avanti, spendiamo due parole su questi famosi grandi cardinali. Sono assiomi che affermano l’esistenza di numeri cardinali (che misurano la “dimensione” degli insiemi infiniti) con proprietà davvero speciali e potenti. Pensateli come infiniti talmente grandi da far sembrare “piccolo” l’infinito dei numeri naturali o reali. Ci sono gerarchie intere di questi cardinali: inaccessibili, Mahlo, misurabili, Woodin, supercompatti… ognuno più “forte” del precedente. Sono fondamentali in teoria degli insiemi, hanno connessioni profonde con altre aree e spesso contraddicono assiomi più restrittivi come l’Assioma di Costruttibilità (V=L) di Gödel stesso (ne parleremo tra poco). Ad esempio, un cardinale misurabile è così grande che permette l’esistenza di “misure” speciali che non esistono per cardinali più piccoli. I cardinali Woodin sono ancora più potenti e legati alla teoria descrittiva degli insiemi. I supercompatti sono ancora oltre, al limite di ciò che la teoria dei modelli interni attuale sa gestire. Sono strumenti potenti, ma come abbiamo visto, non risolvono CH da soli.

Giochi Infiniti e Destino (Assiomi di Determinatezza)

Immaginate un gioco infinito. Due giocatori, I e II, scelgono a turno numeri naturali, costruendo una sequenza infinita. Dato un certo insieme A di sequenze possibili (il “payoff set”), il giocatore I vince se la sequenza finale appartiene ad A, altrimenti vince II. Un insieme A si dice determinato se uno dei due giocatori ha una strategia vincente, un metodo per vincere qualunque cosa faccia l’avversario. L’Assioma di Determinatezza (AD) afferma che *tutti* gli insiemi A di sequenze di numeri naturali sono determinati.

Attenzione: AD contraddice l’Assioma di Scelta (AC), quindi non può essere aggiunto a ZFC, ma solo a ZF (senza Scelta). Tuttavia, AD ha conseguenze potentissime! Implica che gli insiemi di numeri reali hanno una struttura molto “bella” e regolare. Ad esempio, implica la proprietà dell’insieme perfetto: ogni insieme infinito di reali o è numerabile (ha la stessa “dimensione” dei naturali) o contiene un sottoinsieme perfetto (che ha la stessa “dimensione” dei reali). Questo, di fatto, implica che l’Ipotesi del Continuo (nella sua formulazione originale di Cantor) è vera per gli insiemi definibili in questo contesto! Non ci sono insiemi di dimensione intermedia. La determinatezza sembra quindi favorire CH, almeno per certi insiemi. C’è un forte legame tra grandi cardinali e determinatezza: l’esistenza di grandi cardinali implica la determinatezza per classi via via più complesse di insiemi.

Forzare l’Universo (Assiomi di Forcing)

Il forcing è una tecnica potentissima inventata da Paul Cohen (che per questo vinse la Medaglia Fields) per dimostrare l’indipendenza di CH da ZFC. In pratica, permette di “costruire” nuovi universi matematici (estensioni generiche) a partire da uno esistente, aggiungendo nuovi insiemi. Gli Assiomi di Forcing (come l’Assioma di Martin, MA, il Proper Forcing Axiom, PFA, o il potentissimo Martin’s Maximum, MM) postulano che certi tipi di insiemi generici “esistano” già nell’universo, senza bisogno di costruirli.

E qui arriva il bello: questi assiomi hanno spesso la conseguenza opposta rispetto alla Determinatezza! Ad esempio, PFA implica che l’Ipotesi del Continuo è falsa. Anzi, implica che esiste esattamente una cardinalità intermedia tra |ℕ| e |ℝ|.

Quindi, abbiamo un bel dilemma: grandi cardinali da soli non decidono CH. La Determinatezza sembra dire “CH vera” (per insiemi definibili), gli Assiomi di Forcing sembrano dire “CH falsa”. Il programma di Gödel di trovare *un* sistema di assiomi naturale e universalmente accettato sembra ancora più complicato!

Il Cuore dell’Universo e gli Insiemi Universali Baire

Di fronte a questa complessità, i teorici degli insiemi hanno iniziato a cercare il “cuore” dell’universo matematico, la parte più stabile e definibile, quella che non cambia anche quando “forziamo” l’universo per creare nuove realtà. Qui entrano in gioco gli insiemi universali Baire (uB). Sono insiemi di numeri reali (o più in generale, elementi di spazi polacchi) che rimangono “ben definiti” e con buone proprietà anche dopo l’applicazione del forcing. Possiamo pensarli come gli oggetti matematici più “robusti” e intrinsecamente definibili.

L’idea è che studiando questi insiemi uB e i modelli che li contengono, come L(ℝ) (l’insieme di tutti gli insiemi costruibili a partire dai numeri reali) o L(A, ℝ) (dove A è un insieme uB), potremmo capire meglio la struttura fondamentale dell’universo. E qui, i grandi cardinali tornano protagonisti! Ad esempio, l’esistenza di infiniti cardinali Woodin implica che in L(ℝ), vale l’Assioma di Determinatezza, e quindi CH è vera per tutti gli insiemi in L(ℝ). Sembra che, almeno per questa parte “interna” e definibile dell’universo, i grandi cardinali portino ordine e decidano CH.

Sealing: Una Teoria Sigillata Contro il Forcing?

Woodin ha spinto questa idea ancora oltre. E se la teoria dell’intero insieme degli insiemi universali Baire, L(uB, ℝ), fosse completamente “sigillata”? Cosa significa? Significa che la sua teoria (l’insieme delle affermazioni vere in essa) non può essere cambiata da nessun tipo di forcing. Sarebbe un modello incredibilmente stabile e canonico. Questa ipotesi è chiamata Sealing.

Woodin stesso ha dimostrato che il Sealing è consistente con ZFC, a patto di assumere l’esistenza di cardinali molto potenti (un supercompatto e una classe propria di cardinali Woodin). Recentemente, io e altri abbiamo mostrato che il Sealing può essere visto come una conseguenza del fatto che L(uB, ℝ) è un “modello derivato” legato a un cardinale supercompatto. Si stanno studiando anche versioni più forti del Sealing, che includono parti più ampie dell’universo definibile. Il Sealing è un’ipotesi affascinante perché suggerisce l’esistenza di un nucleo matematico immutabile.

V = Ultimate-L: L’Universo è il Modello Canonico Definitivo?

E se facessimo un passo ancora più audace? E se l’intero universo matematico V in cui viviamo fosse esso stesso il modello “definitivo”, una sorta di versione ultima dell’universo costruibile L di Gödel, ma abbastanza ricco da contenere tutti i grandi cardinali? Questa è l’idea dietro un altro assioma proposto da Woodin: V = Ultimate-L.

Questo assioma afferma due cose principali: 1) Esiste una classe propria di cardinali Woodin (quindi l’universo è ricco di grandi cardinali). 2) Ogni verità matematica esprimibile in un certo modo complesso (sentenza Σ₂) che vale nel nostro universo V, deve valere anche in un modello interno L(A, ℝ) per qualche insieme universale Baire A. In pratica, dice che l’universo V non è “casualmente complesso”, ma riflette la struttura dei suoi modelli interni canonici legati agli insiemi uB.

Perché è così interessante? Perché V = Ultimate-L implica l’Ipotesi del Continuo (CH)! La ragione è legata all’analisi di HOD (l’insieme degli insiemi ereditariamente ordinalmente definibili) nei modelli di determinatezza. In questi modelli, HOD si comporta come un modello interno canonico (un “mouse”) in cui CH è vera. Se V = Ultimate-L, allora la verità di CH in questi modelli interni si “riflette” nell’intero universo V. Quindi, V = Ultimate-L non solo risolverebbe CH, ma fornirebbe una spiegazione profonda del *perché* dovrebbe essere vera, legandola alla struttura canonica dell’universo. Esiste anche una versione rafforzata che assume il Sealing, rendendo l’assioma ancora più elegante.

Il Dilemma del Sealing e la Crisi dei Modelli Interni

Qui le cose si fanno davvero profonde e toccano i limiti della nostra comprensione. C’è un dilemma noto come Sealing Dichotomy. Se un qualche assioma di grande cardinale *implica* il Sealing, allora la nostra attuale teoria dei modelli interni (che costruisce modelli “L-like”, chiamati “mice”, per ospitare grandi cardinali) deve essere radicalmente sbagliata o incompleta. Questo perché questi modelli interni canonici, per come li conosciamo, hanno sempre un buon ordinamento dei reali, il che contraddice AD, che è invece una conseguenza del Sealing! Quindi: o nessun grande cardinale implica il Sealing, oppure dobbiamo ripensare da zero come costruire modelli canonici per grandi cardinali molto potenti.

A complicare ulteriormente le cose, un risultato sorprendente di Sargsyan e Trang ha mostrato che il Sealing è consistente assumendo “solo” un cardinale Woodin che è limite di cardinali Woodin, un livello di forza molto inferiore a un supercompatto! Questo risultato mette in discussione alcune tecniche fondamentali usate per collegare diverse ipotesi matematiche (come la Core Model Induction).

Oltre Gödel: Verso una Nuova Comprensione della Verità Matematica?

Siamo partiti dal programma di Gödel per eliminare l’incompletezza e decidere CH usando grandi cardinali. Abbiamo visto che il piano originale non ha funzionato, ma ha aperto strade incredibili: la determinatezza, il forcing, gli insiemi universali Baire, il Sealing, V = Ultimate-L. Ognuna di queste idee ci porta più vicini a comprendere la struttura profonda dell’universo matematico.

Ipotesi come Sealing e V = Ultimate-L sono candidati affascinanti per nuovi assiomi fondamentali. Se V = Ultimate-L fosse vero, avremmo una risposta (positiva) a CH e una visione dell’universo come intrinsecamente canonico e ben strutturato. Se invece il Sealing fosse vero ma magari implicato da grandi cardinali, dovremmo rivoluzionare la teoria dei modelli interni.

Queste domande non sono solo tecnicismi per logici. Ci portano a interrogarci sulla natura stessa della verità matematica. Cosa significa che un’affermazione è “vera” se non possiamo dimostrarla né confutarla dai nostri assiomi attuali? Esistono assiomi “assoluti” che descrivono l’unica realtà matematica possibile, o esistono più universi matematici validi con proprietà diverse (come per CH)?

Il programma di Gödel, nel suo tentativo di completare la matematica, ci ha forse mostrato i suoi limiti intrinseci, ma ci ha anche regalato un panorama di ricerca di una profondità e bellezza mozzafiato. Ci ha ricordato che la matematica, come l’universo stesso, potrebbe essere molto più misteriosa e stratificata di quanto avessimo mai immaginato. E la ricerca continua…

Fonte: Springer