Politopi di Hochschild: Un Viaggio Affascinante tra Geometria e Combinatoria

Ciao a tutti! Oggi voglio portarvi con me in un’esplorazione entusiasmante nel mondo della matematica, dove la geometria, la combinatoria e l’algebra si intrecciano in modi sorprendenti. Parleremo di oggetti affascinanti chiamati Politopi di Hochschild. Magari il nome suona un po’ tecnico, ma fidatevi, c’è una storia intrigante dietro.

Pensate alle classiche storie matematiche, come quella che collega le permutazioni (modi di ordinare oggetti) agli alberi binari (strutture gerarchiche). Questa connessione ha dato vita a concetti stupendi come il reticolo di Tamari, l’associedro di Loday e algebre complesse. Bene, quello di cui parliamo oggi è una sorta di “remake” di quella saga, ma con nuovi protagonisti!

Chi sono i protagonisti? Alberi dipinti e Ombre illuminate

Al posto delle permutazioni, abbiamo gli alberi `m`-dipinti `n`-ari (m-painted n-trees). Immaginate un albero con `n` nodi interni, ma “dipinto” con `m` colori, seguendo regole precise che coinvolgono dei “tagli” orizzontali sull’albero. Questi oggetti combinano, in un certo senso, le proprietà delle permutazioni e degli alberi binari.

Al posto degli alberi binari semplici, introduciamo le ombre `m`-illuminate `n`-arie (m-lighted n-shades). Questi sono oggetti nuovi di zecca, definiti in questo lavoro. Possiamo pensarli come una sequenza di “ombre” proiettate dall’albero, illuminate da `m` “luci” (che corrispondono ai colori della pittura).

La definizione precisa è un po’ tecnica, coinvolge sequenze di tuple di interi, posizioni distinte chiamate “tagli” (cuts) e partizioni ordinate di `m` elementi. Ma l’idea intuitiva è quella di catturare una certa informazione strutturale dagli alberi dipinti.

La Mappa Ombra: Un ponte tra due mondi

Il personaggio centrale di questa nuova storia è la mappa ombra (shadow map). È una funzione matematica che prende un albero `m`-dipinto `n`-ario e lo trasforma in un’ombra `m`-illuminata `n`-aria. Immaginate il sole che tramonta a sinistra dell’albero: la mappa ombra registra la sequenza delle “ombre” (le arità dei nodi) proiettate sul lato destro dell’albero.

Questa mappa non è solo un giochino combinatorio, ma ha profonde conseguenze. Prima di tutto, ci aiuta a capire la struttura dei reticoli di rotazione. Esiste un modo per “ruotare” gli alberi dipinti e le ombre illuminate, creando delle strutture ordinate chiamate reticoli. Si scopre che la mappa ombra si comporta molto bene rispetto a queste rotazioni: è un morfismo di meet semireticoli. Questo significa che preserva una parte della struttura del reticolo (l’operazione “meet”, o infimo), anche se non tutta (non è un morfismo di reticoli completo).

Per darvi un’idea:

• Se `m=0` (nessuna pittura), la mappa ombra collega il famoso reticolo di Tamari (legato agli alberi binari) al reticolo booleano (legato ai sottoinsiemi).
• Se `m=1` (una sola “pittura”), collega il reticolo del multipliedro (una generalizzazione dell’associedro) al reticolo di Hochschild, un oggetto studiato in precedenza con proprietà molto interessanti.

Il reticolo di Hochschild, in particolare, è noto per essere “congruence uniform” ed “extremal”, proprietà reticolari piuttosto tecniche ma significative. Per `m > 1`, i nuovi reticoli delle ombre illuminate sembrano mantenere alcune belle proprietà (come la semidistributività), ma non tutte quelle del caso `m=1`. C’è ancora molto da esplorare qui!

Dai Reticoli ai Politopi: Costruire forme geometriche

Ora arriva la parte geometrica. Così come il reticolo di Tamari è legato all’associedro e l’ordine debole delle permutazioni è legato al permutaedro, anche i nostri nuovi reticoli hanno una controparte geometrica: i politopi.

Un politopo è la generalizzazione multidimensionale di poligoni e poliedri (come cubi, piramidi, ecc.). Sono oggetti geometrici convessi definiti da vertici o da disuguaglianze lineari (le faccette).

Era già noto [8] che il reticolo di coarsening degli alberi `m`-dipinti `n`-ari corrisponde all’insieme delle facce di un politopo chiamato (m,n)-multipliedro. Questo è un tipo di “permutaedro deformato”, ottenuto mescolando (“shuffle product”) un `m`-permutaedro con un `n`-associedro. Lo scheletro orientato di questo politopo (i suoi spigoli, con una direzione) corrisponde proprio al reticolo di rotazione degli alberi `m`-dipinti `n`-ari binari.

Ecco il Politopo di Hochschild!

E qui arriva la nostra star: l’(m,n)-Politopo di Hochschild. Come lo costruiamo? Partiamo dalla descrizione del (m,n)-multipliedro tramite le sue faccette (le disuguaglianze che lo definiscono). Semplicemente, eliminiamo alcune di queste disuguaglianze. Quello che otteniamo è un nuovo politopo, anch’esso un permutaedro deformato.

La cosa fantastica è che questo nuovo politopo realizza geometricamente il reticolo di coarsening delle ombre `m`-illuminate `n`-arie. E ancora meglio: il suo scheletro orientato (sempre con la stessa orientazione standard usata per il permutaedro) corrisponde esattamente al reticolo di rotazione delle ombre `m`-illuminate `n`-arie unarie (la versione “minimale” delle ombre).

Perché è importante? Prendiamo il caso `m=1`. Il (1,n)-Politopo di Hochschild fornisce una realizzazione geometrica del reticolo di Hochschild. C’erano già altri modi per “disegnare” questo reticolo:

• Come un grafo sul bordo di un ipercubo (ma non era lo scheletro di un politopo convesso).
• Come l’orientazione dello scheletro di un politopo chiamato “freehedron” (ottenuto troncando un simplesso standard). Però, questa orientazione non poteva essere ottenuta massimizzando una funzione lineare (non era un’orientazione di Morse), il che è meno “naturale”.

Il nostro Politopo di Hochschild, invece, è un permutaedro deformato il cui scheletro, orientato in modo standard, è il diagramma di Hasse del reticolo di Hochschild. Questo risolve una questione aperta posta da F. Chapoton! È una realizzazione geometrica molto più forte e naturale.

I “Singletons”: Esemplari unici e numeri di Fibonacci

Un dettaglio curioso riguarda i cosiddetti singletons della mappa ombra. Sono quegli alberi `m`-dipinti `n`-ari che sono gli unici nella loro “fibra” della mappa ombra (cioè, nessun altro albero dipinto produce la stessa ombra illuminata). Questi oggetti speciali hanno una struttura particolare e, sorprendentemente, il loro numero è legato alle trasformate binomiali dei numeri di Fibonacci! Un altro piccolo mistero matematico che si svela.

Inoltre, le faccette del multiplidro che vengono mantenute nel politopo di Hochschild sono proprio quelle che contengono questi singletons come vertici comuni. Una proprietà elegante che ricorda altre costruzioni simili in matematica.

Uno sguardo alternativo: Le Coordinate Cubiche

C’è un altro modo interessante per visualizzare e lavorare con questi reticoli: le coordinate cubiche. L’idea è di associare a ogni elemento del reticolo (un albero dipinto o un’ombra illuminata) un punto sul bordo di un ipercubo (un cubo multidimensionale).

Questo concetto generalizza idee ben note:

• Il codice di Lehmer per le permutazioni (che realizza l’ordine debole).
• Il vettore parentesi per gli alberi binari (che realizza il reticolo di Tamari).

Si scopre che possiamo definire vettori cubici sia per gli alberi `m`-dipinti `n`-ari (generalizzando Lehmer e parentesi) sia per le ombre `m`-illuminate `n`-arie (usando una codifica un po’ più sottile tramite i cosiddetti “(m,n)-Hochschild words”).

Queste coordinate non solo forniscono un modo per “disegnare” i reticoli sul bordo di un cubo, ma definiscono anche delle suddivisioni cubiche dei politopi associati (il multiplidro e il politopo di Hochschild). Immaginate di riempire l’interno del politopo con tanti piccoli cubi: la struttura di questa suddivisione corrisponde al reticolo di coarsening.

Questo approccio cubico collega il nostro lavoro a tecniche potenti usate in algebra omotopica, dove questi oggetti controllano la composizione di strutture algebriche complesse (`A-infinito` morfismi, moduli, ecc.).

In conclusione, i politopi di Hochschild aprono una nuova finestra su un paesaggio matematico ricco e interconnesso. Nati dall’eliminazione di vincoli dai multipliedri, rivelano una stretta relazione con le ombre illuminate attraverso la mappa ombra e forniscono realizzazioni geometriche potenti per i reticoli di Hochschild e le loro generalizzazioni. È un bellissimo esempio di come idee dalla combinatoria, geometria e algebra possano convergere per creare nuova matematica!

Fonte: Springer