Piani Lagrangiani nelle Varietà Iperkähleriane: Svelato il Mistero della Formula di Song!

Amici appassionati di geometria e misteri matematici, preparatevi! Oggi ci tufferemo in un mondo affascinante, quello delle varietà iperkähleriane di tipo (K3^{[n]}) e dei loro enigmatici piani Lagrangiani. So che i nomi suonano un po’ ostici, ma credetemi, la storia che si cela dietro è degna di un thriller scientifico.

Recentemente, un brillante matematico di nome Jieao Song ha lanciato una sfida alla comunità scientifica: una congettura, una formula di una semplicità ed eleganza disarmanti, che promette di descrivere la “classe” (una sorta di carta d’identità matematica) di questi piani Lagrangiani. E indovinate un po’? Abbiamo fatto un bel passo avanti nel dimostrare che la sua intuizione era corretta, almeno in un caso molto importante, quello in cui la classe di una retta sul piano è “primitiva”.

Ma Cosa Diavolo Sono Queste Varietà Iperkähleriane?

Immaginate spazi geometrici incredibilmente speciali, lisci, proiettivi (cioè, ben comportati dal punto di vista algebrico) e, soprattutto, “semplicemente connessi” (senza buchi strani, per intenderci). La loro caratteristica distintiva è possedere una forma olomorfa-simplettica, che in parole povere significa che hanno una struttura geometrica molto ricca e simmetrica. Pensatele come delle arene complesse e multidimensionali dove si svolgono giochi geometrici sofisticati.

E i Piani Lagrangiani?

All’interno di queste maestose varietà iperkähleriane, possiamo trovare delle “sottovarietà Lagrangiane” particolari: i piani Lagrangiani. Questi non sono altro che sottospazi che assomigliano a spazi proiettivi ( mathbb{P}^n ) (una generalizzazione delle rette e dei piani che studiamo a scuola) e che hanno una relazione speciale con la forma simplettica della varietà ospite. Se la varietà iperkähleriana ha dimensione (2n), il piano Lagrangiano avrà dimensione (n).

Un elemento cruciale in questa storia è la classe (ell) di una retta contenuta in uno di questi piani Lagrangiani. Questa classe vive in un gruppo di omologia, (H_2(X, mathbb{Z})), che cataloga le “superfici bidimensionali” dentro la nostra varietà X.

La Congettura di Song: Eleganza Matematica

Il cuore della questione ruota attorno alla “classe” del piano Lagrangiano stesso, indicata con ([P]), che vive in un gruppo di coomologia, (H^{2n}(X, mathbb{Z})). Hassett e Tschinkel avevano già iniziato a investigare, proponendo che la “norma” della classe della retta, ((ell, ell)) calcolata con il cosiddetto pairing BBF (Beauville-Bogomolov-Fujiki), dovesse essere una costante universale dipendente solo dal tipo deformativo della varietà X. Per le varietà di tipo (K3^{[n]}) (quelle che ci interessano, deformazioni equivalenti allo schema di Hilbert di (n) punti su una superficie K3), questa costante è ( -(n+3)/2 ).

Song ha fatto un passo ulteriore. Ha proposto una formula incredibilmente concisa per ([P]) nelle varietà di tipo (K3^{[n]}). Se (L in H^2(X, mathbb{Q})) è la classe duale alla classe della retta (ell) (rispetto alla forma BBF), la congettura di Song (Congettura 2.2.10 nel suo lavoro) afferma che:

([P] = frac{1}{n!} [e^L]_n)

Dove ([ gamma ]_k) indica la componente di grado (k) (grado coomologico (2k)) di una classe (gamma). Non è meravigliosa nella sua semplicità? Sembra quasi troppo bello per essere vero!

Il nostro principale risultato, quello che mi entusiasma raccontarvi, è proprio la dimostrazione di questa congettura nel caso in cui la classe della retta (ell) sia primitiva, cioè indivisibile in (H_2(X, mathbb{Z})). Sembra un dettaglio tecnico, ma è un primo, solido mattone. È interessante notare, come sottolineato da Bakker, che esistono casi in cui (ell) non è primitiva. Il fatto che la formula di Song sembri indipendente dalla divisibilità di (ell) è notevole e suggerisce connessioni profonde, forse con l’indipendenza degli invarianti di Gromov-Witten delle varietà iperkähleriane di tipo (K3^{[n]}) dalla divisibilità, un tema che stiamo esplorando.

Gli Strumenti del Mestiere: Come Siamo Arrivati alla Prova?

Per arrivare a questa dimostrazione, non ci siamo certo annoiati. La strategia si è ispirata molto alle idee di Thorsten Beckmann. Abbiamo dovuto tirare fuori l’artiglieria pesante della geometria algebrica. Riscrivendo la formula di Song usando i vettori di Mukai (v(E) = textsf{ch}(E) sqrt{{textrm{td}}}_X), la congettura assume una forma che suggerisce fortemente il ruolo chiave delle auto-equivalenze della categoria derivata (D^b(X)). E infatti, sono proprio loro le protagoniste!

Più precisamente, abbiamo combinato un risultato recente di Eyal Markman con un mio precedente lavoro per descrivere come agiscono sulla coomologia le auto-equivalenze degli schemi di Hilbert (S^{[n]}) (che sono i nostri modelli per le varietà di tipo (K3^{[n]})) indotte da auto-equivalenze della superficie K3 (S), usando la costruzione di Ploog. Questo ci ha permesso di ottenere risultati più forti rispetto a calcoli precedenti che si concentravano solo sulla proiezione di ([P]) sulla componente di Verbitsky.

Un altro ingrediente fondamentale è l’algebra di Lie LLV (Looijenga-Lunts-Verbitsky), (mathfrak{g}(X)), generata dalle triple di Lefschetz. Questa struttura algebrica governa molte delle simmetrie della coomologia delle varietà iperkähleriane. Abbiamo anche utilizzato il potente macchinario degli operatori di creazione di Nakajima, che forniscono una base per la coomologia degli schemi di Hilbert.

Per semplificare il problema, grazie al lavoro di Bakker sappiamo che esiste un’unica orbita di monodromia per i piani Lagrangiani (P subset X) in varietà di tipo (K3^{[n]}) tali che la classe della retta in (P) sia primitiva. Questo ci ha permesso di specializzare il nostro studio al caso in cui (X = S^{[n]}) (lo schema di Hilbert di (n) punti su una superficie K3, (S)) e il piano Lagrangiano (P) è (C^{[n]}), dove (C) è una curva speciale (una ((-2))-curva, isomorfa a (mathbb{P}^1)) su (S).

Una computazione chiave, che costituisce il cuore tecnico del lavoro e che corregge anche una piccola imprecisione in versioni precedenti di un lavoro di Beckmann, riguarda l’azione di un particolare tipo di auto-equivalenza, lo “spherical twist” lungo il fascio strutturale (mathcal{O}_S), sulla classe di (C^{[n]}). Mettendo insieme tutti questi pezzi, come in un complesso puzzle matematico, siamo riusciti a far quadrare i conti e a dimostrare la formula di Song per il caso primitivo.

Oltre la Prova: Cosa Significa Tutto Ciò e Dove Andiamo Ora?

Come accennavo, l’indipendenza della formula dalla divisibilità di (ell) è intrigante. Potrebbe esserci un legame con la teoria di Gromov-Witten, che studia le curve algebriche dentro le varietà. In particolare, con le formule di “copertura multipla”. Se (beta) è la classe di una curva, la formula di Song per (beta = ell) primitiva ci dice qualcosa su un certo “ciclo Lagrangiano” (Z_{ell}) definito tramite spazi di moduli di mappe stabili. La speranza è che capire (Z_{ell}) per (ell) non primitiva possa aiutarci a dimostrare la congettura di Song in generale.

Song stesso, nel suo lavoro, ha mostrato che per varietà iperkähleriane generiche, non possiamo aspettarci una formula per ([P]) che dipenda solo da (L). Ci possono essere più piani Lagrangiani con la stessa classe di retta (ell), e le loro classi ([P_i]) possono differire per termini non invarianti per monodromia. Una speculazione affascinante è se la media delle classi ([sum P_i]/N) soddisfi la formula di Song.

Un’altra frontiera è estendere questi risultati agli anelli di Chow (A^*(X)). Questi anelli catturano informazioni geometriche più fini rispetto alla coomologia. Per usare i nostri metodi, servirebbe un modo per “sollevare” l’azione dell’algebra LLV e l’azione delle auto-equivalenze dalla coomologia agli anelli di Chow in modo compatibile. Per gli schemi di Hilbert (S^{[n]}), un’azione LLV sugli anelli di Chow è stata costruita e ha le proprietà attese, quindi la domanda è aperta e promettente!

Insomma, la congettura di Song ha aperto una porta su un paesaggio matematico ricco di strutture e connessioni inaspettate. La nostra dimostrazione nel caso primitivo è solo un primo passo, ma spero vi abbia trasmesso un po’ dell’entusiasmo che si prova quando si svela un piccolo pezzetto dei misteri dell’universo matematico. La ricerca continua!

Fonte: Springer