Decidere nel Caos: Come i Nuovi Operatori Matematici Rivoluzionano le Scelte Complesse con i BCFS

Ciao a tutti! Avete mai pensato a quanto sia complicato prendere decisioni nel mondo reale? Spesso ci troviamo di fronte a informazioni vaghe, incerte, a volte persino contraddittorie. Pensate alla scelta di un fornitore, alla diagnosi medica, o persino alla pianificazione di un progetto: raramente le cose sono bianche o nere. Ecco, è proprio qui che entra in gioco la matematica, o meglio, alcuni strumenti matematici super potenti progettati per navigare in questo mare di incertezza.

Oggi voglio parlarvi di qualcosa di affascinante che sta emergendo nel campo della teoria delle decisioni, qualcosa che ho avuto modo di esplorare e che promette di rendere le nostre scelte più informate, specialmente quando i dati sono… beh, complicati. Parliamo di insiemi fuzzy complessi bipolari (Bipolar Complex Fuzzy Sets – BCFS) e di nuovi modi per aggregare le informazioni che contengono.

Un Passo Avanti nella Gestione dell’Incertezza: I BCFS

Forse avete sentito parlare degli insiemi fuzzy (Fuzzy Sets), introdotti dal grande Zadeh. Sono fantastici perché ci permettono di andare oltre la logica binaria (vero/falso, 0/1) e di rappresentare gradi di appartenenza. Ma la realtà è spesso più sfumata. A volte un’informazione ha sia aspetti positivi che negativi. Qui entrano in gioco gli insiemi fuzzy bipolari (BFS), che considerano sia un grado di appartenenza positivo (da 0 a 1) sia uno negativo (da -1 a 0).

E se l’informazione avesse anche una seconda dimensione? Pensate a dati che variano nel tempo o che hanno una componente “fase” oltre all'”ampiezza”. Qui ci aiutano gli insiemi fuzzy complessi (CFS), che usano numeri complessi (con una parte reale e una immaginaria) per rappresentare l’appartenenza.

Ora, mettete insieme queste due idee: gestione degli aspetti positivi/negativi E gestione dell’informazione multi-dimensionale. Boom! Otteniamo gli insiemi fuzzy complessi bipolari (BCFS), introdotti da Mahmood e Rehman. Questi strumenti ci danno una marcia in più per modellare situazioni davvero intricate, dove dobbiamo considerare contemporaneamente “quanto va bene”, “quanto va male”, e magari anche “come evolve nel tempo” un certo attributo.

Il Problema dell’Aggregazione e la Partizione degli Attributi

Ok, abbiamo questi BCFS potenti. Ma come li usiamo per prendere una decisione concreta, magari scegliendo tra diverse alternative basate su molti attributi (il cosiddetto Multi-Attribute Decision Making – MADM)? Abbiamo bisogno di “aggregare” tutte le informazioni BCFS relative a un’alternativa in un unico valore rappresentativo. Esistono vari operatori di aggregazione (AOs), ma molti hanno un limite.

Considerate questo: nel mondo reale, gli attributi su cui basiamo le decisioni non sono sempre tutti indipendenti o tutti collegati tra loro allo stesso modo. Spesso, si raggruppano naturalmente in “classi” o “partizioni”. Pensate alla scelta di un’auto: gli attributi legati alle prestazioni (velocità massima, accelerazione) potrebbero essere interconnessi tra loro, così come quelli legati al comfort (spazio interno, silenziosità). Ma le prestazioni potrebbero essere relativamente indipendenti dal comfort.

Gli operatori di aggregazione standard spesso non tengono conto di questa struttura “partizionata”. Aggregano tutto insieme, rischiando di perdere sfumature importanti sulle relazioni interne a ciascun gruppo di attributi.

La Nostra Proposta: Operatori PMSM e PDMSM per BCFS

Ed è qui che entra in gioco il nostro lavoro. Ci siamo chiesti: e se potessimo applicare degli operatori che *riconoscono* questa struttura partizionata direttamente ai dati BCFS? Abbiamo preso ispirazione dagli operatori Partitioned Maclaurin Symmetric Mean (PMSM) e dalla loro controparte duale (Partitioned Dual Maclaurin Symmetric Mean – PDMSM), originariamente proposti in altri contesti fuzzy.

Questi operatori sono geniali perché considerano le interrelazioni tra gli attributi *all’interno* di ogni partizione, ma mantengono le partizioni separate durante l’aggregazione. Noi li abbiamo adattati per la prima volta al mondo dei BCFS, creando quattro nuovi operatori:

• BCFPMSM (Bipolar Complex Fuzzy Partitioned Maclaurin Symmetric Mean)
• BCFWPMSM (la sua versione pesata, Weighted)
• BCFPDMSM (Bipolar Complex Fuzzy Partitioned Dual Maclaurin Symmetric Mean)
• BCFWPDMSM (la sua versione pesata, Weighted)

Questi nuovi strumenti matematici ci permettono di fare qualcosa che prima non era possibile: aggregare informazioni che sono contemporaneamente bipolari (positive/negative), complesse (multi-dimensionali) e partizionate (raggruppate per interconnessioni).

Come Funziona in Pratica? Un Metodo MADM

Abbiamo sviluppato anche una metodologia passo-passo per utilizzare questi operatori nei problemi MADM:

1. Normalizzazione (se serve): A volte gli attributi sono di tipo diverso (alcuni è meglio averli alti, tipo il profitto, altri bassi, tipo i costi). Li portiamo tutti a una scala comparabile.
2. Aggregazione Partizionata: Usiamo uno dei nostri nuovi operatori (BCFPMSM, BCFWPMSM, BCFPDMSM o BCFWPDMSM) per combinare i valori BCFS di tutti gli attributi per ciascuna alternativa, rispettando la divisione in classi. Otteniamo un valore BCFS aggregato per ogni opzione.
3. Calcolo di Punteggio e Accuratezza: Trasformiamo il valore BCFS aggregato in un punteggio numerico (e un valore di accuratezza, utile in caso di parità) per poter confrontare facilmente le alternative.
4. Classifica e Scelta: Ordiniamo le alternative in base ai punteggi (e all’accuratezza se necessario) e voilà, identifichiamo l’opzione migliore!

Un Esempio Concreto: La Scelta del Fornitore

Per dimostrare che non si tratta solo di bella teoria, abbiamo applicato il nostro metodo a un classico problema di gestione della catena di approvvigionamento (Supply Chain Management – SCM): la selezione del miglior fornitore.

Immaginate un’azienda che deve scegliere tra 4 fornitori potenziali (({mathfrak{T}}_{1}, {mathfrak{T}}_{2}, {mathfrak{T}}_{3}, {mathfrak{T}}_{4})) basandosi su 4 attributi:

• ({mathfrak{D}}_{1}): Tenuta dei registri chiara
• ({mathfrak{D}}_{2}): Tendenza al miglioramento continuo
• ({mathfrak{D}}_{3}): Affidabilità
• ({mathfrak{D}}_{4}): Dimostrazione di innovazione

Supponiamo che gli attributi siano naturalmente divisi in due classi: ({mathcal{P}}_{1}={{mathfrak{D}}_{1}, {mathfrak{D}}_{3}}) (legati più alla gestione/affidabilità) e ({mathcal{P}}_{2}={{mathfrak{D}}_{2}, {mathfrak{D}}_{4}}) (legati più alla proattività/innovazione). Un esperto valuta ogni fornitore su ogni attributo usando i numeri BCFS (cioè dando un giudizio positivo/negativo complesso).

Applicando i nostri operatori (ad esempio, BCFWPMSM e BCFWPDMSM, considerando anche pesi diversi per gli attributi), siamo riusciti a calcolare un punteggio complessivo per ogni fornitore e a stilare una classifica. Nell’esempio specifico, a seconda dell’operatore scelto (la scelta dipende dalle preferenze del decisore), è emerso come migliore fornitore ({mathfrak{T}}_{3}) o ({mathfrak{T}}_{1}). Questo dimostra la praticità e l’utilità del nostro approccio in scenari reali.

Perché è un Passo Avanti? Confronto con Altri Metodi

Abbiamo confrontato i risultati ottenuti con i nostri operatori con quelli che si otterrebbero usando altri metodi esistenti, sia nel dominio BCFS (come operatori Dombi o Hamacher) sia in domini più semplici come quello fuzzy intuizionista (IFPMSM, IFPDMSM) o bipolare fuzzy (BFDA, BFHA).

Cosa abbiamo scoperto?

• Gli operatori BCFS esistenti (Dombi, Hamacher) non gestiscono la struttura partizionata degli attributi, perdendo potenzialmente informazioni sulle relazioni interne alle classi.
• Gli operatori partizionati per insiemi fuzzy intuizionisti (IFPMSM, ecc.) non possono gestire né gli aspetti negativi né l’informazione complessa (seconda dimensione) dei BCFS. Sono troppo limitati per i nostri dati.
• Gli operatori per insiemi fuzzy bipolari (BFDA, ecc.) gestiscono il positivo/negativo ma non l’informazione complessa.

I nostri operatori BCFPMSM, BCFWPMSM, BCFPDMSM e BCFWPDMSM sono, al momento, gli unici strumenti che riescono a gestire contemporaneamente l’aspetto bipolare, la natura complessa e la struttura partizionata degli attributi all’interno del framework BCFS. Questo li rende particolarmente adatti a problemi decisionali complessi e realistici dove le altre tecniche potrebbero rivelarsi inadeguate.

Vantaggi Pratici e Limiti

Quali sono i benefici concreti di questo approccio?

• Migliore Rappresentazione della Realtà: Modella problemi decisionali complessi in modo più fedele, considerando dualità, multidimensionalità e raggruppamenti naturali degli attributi.
• Gestione Raffinata dell’Incertezza: Offre un framework matematico robusto per trattare dati ambigui e incerti.
• Flessibilità: Le versioni pesate permettono di dare importanza diversa ai vari attributi, adattandosi alle esigenze specifiche del decisore.

Ovviamente, ci sono anche delle sfide. La complessità computazionale può aumentare con molti attributi e partizioni. Inoltre, la definizione delle partizioni e l’assegnazione dei pesi dipendono dall’esperienza dell’esperto, introducendo un elemento di soggettività. Infine, il metodo modella bene le dipendenze *interne* a una classe, ma non esplicitamente quelle *tra* classi diverse (se presenti).

Conclusioni e Sguardo al Futuro

L’introduzione degli operatori PMSM e PDMSM nel contesto dei BCFS rappresenta, a mio avviso, un progresso significativo per la teoria delle decisioni in ambienti incerti. Abbiamo creato strumenti matematici che colmano una lacuna importante, permettendo di analizzare problemi complessi con una granularità e un realismo maggiori rispetto al passato.

Questo lavoro apre le porte a future ricerche: potremmo estendere questi concetti ad altri tipi di insiemi fuzzy ancora più avanzati (come quelli neutrosofici complessi o esitanti complessi) o applicarli a nuovi domini come la sanità, l’intelligenza artificiale, il machine learning e la gestione aziendale.

La capacità di gestire informazioni multi-dimensionali, bipolari e partizionate è cruciale in un mondo sempre più interconnesso e complesso. Spero che questi nuovi strumenti possano aiutare decisori in vari campi ad affrontare le loro sfide con maggiore consapevolezza e precisione. Il viaggio nella matematica dell’incertezza continua!

Fonte: Springer