MUSE-BB: La Nuova Frontiera per Risolvere l’Incertezza (Senza Impazzire!)

Ciao a tutti! Oggi voglio parlarvi di una sfida affascinante nel mondo dell’ottimizzazione: prendere decisioni intelligenti quando il futuro è incerto. Immaginate di dover progettare un sistema energetico, pianificare investimenti o gestire una catena di approvvigionamento. Spesso dobbiamo fare scelte “qui e ora” senza sapere esattamente cosa accadrà dopo (domanda di mercato, prezzi delle materie prime, condizioni meteo…). Poi, una volta che lo scenario futuro si manifesta, dobbiamo prendere decisioni “di ricorso” per adattarci al meglio. Questo è il cuore della programmazione stocastica a due stadi (TSP).

Fin qui, tutto bene. Ma cosa succede quando le relazioni tra le variabili non sono lineari e, peggio ancora, non sono “belle” e convesse? Entriamo nel regno dei problemi non convessi, un vero rompicapo computazionale.

Le Vecchie Strade e i Loro Limiti

Tradizionalmente, un modo per affrontare questi problemi è trasformarli nel loro “equivalente deterministico” (DE). In pratica, si mettono insieme tutte le variabili e i vincoli di tutti gli scenari possibili in un unico, gigantesco problema di ottimizzazione. Il guaio? La dimensione di questo problema esplode esponenzialmente con il numero di scenari (`N_s`). Risolverlo con i metodi standard di Branch-and-Bound (BeB) diventa presto impraticabile, anche con computer potenti.

Per ovviare a questo, sono nati algoritmi di decomposizione. L’idea è intelligente: sfruttare la struttura “a blocchi” del problema, dove ogni scenario ha le sue variabili di secondo stadio, collegate però dalle decisioni di primo stadio. Algoritmi recenti, che potremmo chiamare “basati sulla proiezione” (PBDA), cercano di risolvere il problema concentrandosi solo sulle variabili del primo stadio (`x`). Usano tecniche come la GBD (Generalized Benders Decomposition) o rilassamenti Lagrangiani.

Questi approcci hanno dei vantaggi:

• Il lavoro computazionale per ottenere i limiti inferiore e superiore della soluzione scala linearmente con il numero di scenari.
• I sottoproblemi per ogni scenario possono essere risolti in parallelo.

Tuttavia, non è tutto oro quel che luccica. Questi metodi spesso soffrono del cosiddetto “effetto cluster”: vicino alla soluzione ottimale, l’algoritmo potrebbe dover esplorare un numero enorme di piccoli sottodomini prima di convergere. Questo è legato a limiti matematici sull’ordine di convergenza dei rilassamenti usati. Inoltre, spesso richiedono di risolvere globalmente sottoproblemi non convessi all’interno di un ciclo BeB esterno, una sorta di “matrioska” computazionale che può essere molto costosa. Si finisce per considerare più volte le stesse regioni dello spazio delle variabili, sprecando tempo prezioso.

Entra in Scena MUSE-BB: L’Idea Rivoluzionaria

Ed è qui che entra in gioco il nostro approccio, che abbiamo chiamato MUSE-BB. L’idea di fondo è semplice ma potente: perché limitarsi a esplorare solo le variabili del primo stadio nell’albero BeB principale? Noi proponiamo di usare un unico albero BeB che esplora tutte le variabili, sia quelle del primo stadio (`x`) che quelle del secondo stadio (`y_s`) per tutti gli scenari.

“Ma così non si perde il vantaggio della decomposizione?”, potreste chiedere. Assolutamente no! Ed è qui che arriva la magia. Pur esplorando l’intero spazio delle variabili, manteniamo la capacità di risolvere sottoproblemi decomponibili e paralleli per calcolare i limiti inferiori della soluzione.

La Magia della Multisezione (Multisection Branching)

La vera chicca di MUSE-BB è come gestiamo il branching (la divisione dei domini) sulle variabili del secondo stadio. Se scegliamo di dividere il dominio di una variabile del primo stadio `x_i`, facciamo una normale bisezione: creiamo due nodi figli nell’albero BeB. Ma se scegliamo una variabile del secondo stadio, diciamo `y_{s,i}` (la variabile `i` nello scenario `s`), invece di dividere solo quella, applichiamo una tecnica chiamata multisezione forte (strong multisection branching).

Consideriamo simultaneamente la stessa variabile `i` in tutti gli scenari `s = 1, …, N_s`. Immaginate di avere `N_s` “leve” (una per ogni scenario) per la stessa variabile `y_i`. La multisezione equivale a considerare tutte le possibili combinazioni di “su” e “giù” per queste leve. In teoria, questo creerebbe `2^{N_s}` nodi figli! Un’esplosione combinatoria ingestibile.

Ma ecco il trucco: per calcolare i limiti inferiori di tutti questi `2^{N_s}` nodi figli, non dobbiamo risolvere `2^{N_s}` problemi. Grazie alla struttura decomposta, basta risolvere solo `2 * N_s` sottoproblemi distinti e indipendenti (due per ogni scenario: uno per `y_{s,i}` “basso” e uno per `y_{s,i}` “alto”). Questi `2 * N_s` sottoproblemi possono essere risolti in parallelo! Una volta ottenuti i risultati, possiamo combinarli per ottenere i limiti per ciascuno dei `2^{N_s}` nodi figli virtuali.

Tenere Sotto Controllo l’Esplosione: La Multisezione Filtrata

Generare (anche solo virtualmente) `2^{N_s}` nodi può comunque essere problematico per la memoria e perché molti di questi nodi potrebbero avere limiti inferiori scarsi. Perciò, abbiamo introdotto un meccanismo di filtraggio basato sugli score di strong-branching.

Dopo aver risolto i `2 * N_s` sottoproblemi associati alla multisezione, calcoliamo uno “score” (`sigma_s`) per ogni scenario `s`. Questo score misura quanto la bisezione della variabile `y_{s,i}` in quello scenario contribuisce a migliorare il limite inferiore rispetto al nodo padre.
Poi facciamo due cose:

1. Scartiamo le bisezioni con uno score troppo basso (inferiore a una frazione `eta` dello score massimo `sigma_max`).
2. Limitiamo il numero massimo di bisezioni “efficaci” (`k`) che vogliamo considerare a un valore `k_max`.

In questo modo, invece di generare `2^{N_s}` nodi, ne generiamo solo `2^k` (dove `k <= k_max`), concentrandoci sulle direzioni di branching più promettenti. Chiamiamo questi nodi generati "nodi ortanti". Questo ci permette di bilanciare la potenza esplorativa della multisezione con l'efficienza computazionale.

Sotto il Cofano: Limiti e Convergenza

Un altro aspetto chiave è come calcoliamo i limiti inferiori nei nodi. A differenza dei PBDA che spesso richiedono la soluzione globale dei sottoproblemi (che è costosa), noi possiamo permetterci di usare rilassamenti più “leggeri”. In particolare, usiamo rilassamenti convessi basati su McCormick e poi li linearizziamo ulteriormente (`LP_s`). Questi problemi lineari sono molto più veloci da risolvere.

Dal punto di vista teorico, abbiamo dimostrato che MUSE-BB converge alla soluzione ottimale (con una tolleranza `epsilon`) in un tempo finito. Ancora più importante, abbiamo mostrato che il nostro schema di limiti inferiori ha un ordine di convergenza di almeno 1 sotto ipotesi blande (funzioni Lipschitz continue). Questo è potenzialmente migliore degli schemi usati dai PBDA, che possono avere ordine inferiore a 1 in generale. Un ordine di convergenza più alto è fondamentale per mitigare il fastidioso “effetto cluster” e accelerare la chiusura del gap tra limite inferiore e superiore.

Alla Prova dei Fatti

Abbiamo implementato MUSE-BB come estensione del nostro risolutore open-source MAiNGO, sfruttando la parallelizzazione OpenMP per i sottoproblemi. I primi test su un problema (semplificato ma non banale) di progettazione di un sistema di cogenerazione (CHP) sono incoraggianti.
Abbiamo confrontato MUSE-BB (con parallelizzazione) con la versione standard di MAiNGO (seriale) applicata all’equivalente deterministico.
I risultati mostrano che:

• La scelta delle priorità di branching (quanto favorire le variabili di primo stadio `x` rispetto a quelle di secondo stadio `y_s`) è cruciale. MUSE-BB sembra preferire priorità più alte per `x` rispetto a MAiNGO standard.
• Con le priorità giuste, MUSE-BB è significativamente più veloce di MAiNGO standard, sia in termini di tempo CPU totale che di tempo “wall clock” (tempo reale trascorso). Il vantaggio aumenta con il numero di scenari. Per 16 scenari, MAiNGO non riusciva a terminare in un’ora, mentre MUSE-BB trovava la soluzione in circa 5 minuti nei casi migliori!
• L’uso della multisezione filtrata (parametri `k_max` ed `eta`) richiede un po’ di tuning. Nei nostri test, limitare il numero di nodi figli generati dalla multisezione (es. `k_max = 1` o `eta = 1`) sembrava dare i risultati migliori, ma questo potrebbe dipendere dal problema specifico.

Cosa Riserva il Futuro?

MUSE-BB apre strade interessanti. Stiamo esplorando come migliorare ulteriormente i limiti inferiori dualizzando i vincoli di “non anticipatività” (quelli che legano le copie delle variabili `x` nei diversi scenari) invece di semplicemente “rilassarli”. Questo potrebbe portare a un ordine di convergenza ancora più alto (addirittura 2 in certi casi!), combattendo ancora meglio l’effetto cluster, anche se richiede la gestione dei moltiplicatori duali.
Vogliamo anche testare MUSE-BB su problemi più grandi e complessi, combinare la sua parallelizzazione interna con altre tecniche di parallelizzazione BeB, e generalizzare l’approccio ad altre strutture di problemi decomponibili.

In conclusione, MUSE-BB si propone come un’alternativa potente ed efficiente per affrontare problemi decisionali complessi e non convessi sotto incertezza. Combinando un BeB sull’intero spazio con la decomposizione intelligente e la multisezione filtrata, speriamo di offrire uno strumento in più per navigare le acque turbolente dell’ottimizzazione stocastica!

Fonte: Springer