Scavare Intelligente: Il Modello BILP che Rivoluziona la Progettazione Mineraria Sotterranea

Ciao a tutti! Oggi voglio parlarvi di una sfida affascinante che affrontiamo noi ingegneri minerari: come progettare gli scavi sotterranei, chiamati “stope”, in modo che siano non solo redditizi, ma anche sicuri. Immaginate di dover decidere dove e come scavare a centinaia di metri sotto terra, basandovi su modelli geologici complessi e un sacco di vincoli tecnici. Non è proprio una passeggiata!

La Sfida: Trovare l’Oro (e il Modo Migliore per Estrarlo)

Quando si pianifica una miniera sotterranea, ci sono tantissime decisioni da prendere. Dobbiamo capire quali zone del giacimento vale la pena scavare, come disegnare queste zone (le stope, appunto), come creare le gallerie di accesso, quali macchinari usare e persino in quale ordine scavare. La primissima fase, cruciale per creare valore, è proprio definire il layout ottimale delle stope.

Tradizionalmente, questo processo si basa molto sull’esperienza dell’ingegnere e su software di progettazione assistita (CAD). Si usano modelli 3D del giacimento e si provano diverse configurazioni, cercando di massimizzare il valore del minerale estratto tenendo conto di:

• Modelli geologici (i “block models” che ci dicono dov’è il minerale e quanto ce n’è)
• Cut-off grade (la concentrazione minima di minerale per rendere l’estrazione conveniente)
• Parametri economici (prezzo dei metalli, costi di scavo e lavorazione)
• Parametri geotecnici (quanto possiamo scavare senza rischi, la dimensione dei pilastri di sostegno)
• Parametri geometrici (dimensioni minime e massime degli scavi)

Il problema? Spesso i software usati si basano su algoritmi euristici. Sono intelligenti, certo, ma non garantiscono di trovare la soluzione *veramente* ottimale, quella che massimizza il valore in assoluto. È un po’ come cercare il percorso migliore in un labirinto enorme usando solo qualche regola pratica: magari arrivi alla fine, ma non è detto che tu abbia fatto la strada più corta.

L’Idea: Usare la Matematica per Scavare Meglio

Qui entra in gioco la potenza della programmazione matematica, in particolare la Programmazione Lineare Intera Binaria (BILP). Questi metodi, se ben impostati, possono garantire la soluzione ottimale. Il “problema del problema” è che modellare forme geometriche complesse (come le nostre stope) con equazioni lineari è storicamente difficile.

Ma ecco la svolta! Ispirandoci ai lavori di Queyranne e Wolsey su problemi di pianificazione della produzione, abbiamo pensato: “E se potessimo adattare quelle idee per definire vincoli di forma efficienti anche per le stope?”. Sembrava una scommessa, ma ci abbiamo provato.

Il Nostro Modello BILP: Come Funziona?

Abbiamo sviluppato un modello BILP bidimensionale (per ora, ma l’idea è estenderlo al 3D) che decide quali blocchi di roccia includere in una stope per massimizzare il valore economico totale, rispettando tutti i vincoli.

L’obiettivo è semplice: massimizzare il profitto (non scontato, in questa fase) dato dalla somma del valore di tutti i blocchi selezionati.

Ma come ci assicuriamo che il risultato sia sensato e praticabile? Con una serie di vincoli ben studiati:

• Vincoli di Forma e Contiguità: Qui sta la novità. Usiamo delle variabili binarie speciali (0 o 1) per identificare il blocco “d’angolo” (il più in alto o il più a sinistra) di ogni stope. Questo ci permette, con poche equazioni lineari, di garantire che i blocchi scelti per una stope siano tutti collegati (contigui) e che la stope rispetti le dimensioni minime e massime richieste (altezza e lunghezza). Niente stope a forma di gruviera o troppo piccole/grandi per essere scavate!
• Vincoli sul Numero di Stope: Limitiamo il numero di “blocchi d’angolo” per assicurarci che ogni gruppo contiguo di blocchi sia considerato una stope separata.
• Vincoli di Non Sovrapposizione: Fondamentale! Ogni blocco di roccia può essere scavato una sola volta e appartenere a una sola stope. Niente scavi che si accavallano.
• Vincoli di Grado (Cut-off): Ogni stope, nel suo complesso, deve avere una concentrazione media di minerale superiore a una certa soglia (il cut-off grade di stope). Questo non significa che ogni singolo blocco debba essere ricco, ma la media sì. Possiamo quindi includere strategicamente anche blocchi di scarto (“waste”) se serve per ottenere la forma giusta, purché la media resti alta.
• Vincoli Geotecnici (Pilastri): La sicurezza prima di tutto! Dobbiamo lasciare dei pilastri di roccia intatta tra una stope e l’altra per garantire la stabilità. Il nostro modello impone dimensioni minime e massime per questi pilastri, sia in verticale che in orizzontale. Anche qui usiamo variabili binarie “d’angolo” per definire i pilastri.

Messo alla Prova: Un Caso Studio Reale

Abbiamo testato il nostro modello su un giacimento d’oro. Abbiamo preso il modello geologico, lo abbiamo suddiviso in blocchi regolari (774 in totale, di cui 144 abbastanza ricchi da essere interessanti) e abbiamo inserito tutti i dati economici e tecnici. Il modello doveva decidere quali blocchi combinare per formare le stope migliori.

I risultati? Davvero incoraggianti! In meno di due ore (1.83 ore, per la precisione), il modello ha trovato la soluzione *ottimale* (con uno scarto dello 0.00%, significa che non si può fare di meglio!), identificando 8 stope. Queste stope includevano 60 blocchi di minerale pregiato e 13 blocchi di scarto (necessari per la forma e la contiguità).

Il valore economico totale? Ben 34.4 milioni di dollari! E tutte le stope rispettavano i vincoli di dimensione, grado e distanza (pilastri). Il modello è stato bravo a concentrarsi sulle zone più ricche del giacimento, creando stope di forme e dimensioni diverse per adattarsi alla geologia.

Sensibilità del Modello: Cosa Cambia se Cambiamo i Parametri?

Ovviamente, ci siamo chiesti come si comporta il modello se modifichiamo alcuni parametri chiave. Abbiamo fatto un po’ di esperimenti:

• Cut-off Grade di Stope: Aumentando la soglia minima di ricchezza richiesta per una stope, il valore totale diminuisce (scaviamo meno), ma il calcolo è più veloce (meno combinazioni da valutare). Diminuendola, il valore aumenta (più blocchi selezionati), ma ci vuole più tempo.
• Dimensioni delle Stope: Permettendo stope più grandi, generalmente il valore economico aumenta (si includono più blocchi di minerale), anche se la concentrazione media potrebbe leggermente diminuire. Tempi di calcolo? Spesso più rapidi con stope più grandi, perché ci sono meno “pezzi” da combinare. Stope più piccole portano a più selettività, potenzialmente gradi più alti, ma valore totale inferiore e tempi di calcolo più lunghi.
• Dimensione del Problema (Numero di Blocchi): Come prevedibile, più blocchi ci sono nel modello, più complesso diventa il problema e più tempo ci vuole per trovare la soluzione ottimale.
• Dimensioni dei Pilastri: Anche le dimensioni minime/massime dei pilastri influenzano il layout finale e il valore ottenibile.

Questi esperimenti confermano che il modello è uno strumento potente ma sensibile: le scelte dell’ingegnere sui parametri di input hanno un impatto diretto sul risultato.

Limiti e Prossimi Passi: La Strada è Ancora Lunga

Non è tutto perfetto, lo ammetto. Il nostro modello ha ancora qualche limite:

1. Pilastri Diagonali: I vincoli sui pilastri funzionano bene in verticale e orizzontale, ma non gestiscono bene la situazione in cui due stope sono adiacenti solo diagonalmente. Questo potrebbe creare rischi per la stabilità in alcuni casi. È una cosa su cui dobbiamo lavorare, magari con algoritmi di post-processing.
2. Tempo di Calcolo: Anche se 1.83 ore per il caso base non è male, per problemi molto grandi (tanti blocchi) i tempi possono diventare lunghi. L’uso di variabili binarie rende il problema computazionalmente “pesante”. Stiamo esplorando tecniche di pre-processing per semplificare il problema prima di darlo in pasto al risolutore.
3. Modello 2D: Per ora è bidimensionale. Il prossimo grande passo è estenderlo al 3D, aggiungendo la terza dimensione ai nostri vincoli.
4. Incertezza: Il modello attuale assume che tutti i dati (gradi, prezzi, costi) siano noti con certezza. Sarebbe interessante sviluppare versioni stocastiche che tengano conto dell’incertezza.

In Conclusione

Nonostante i limiti, crediamo che questo approccio rappresenti un passo avanti significativo. Abbiamo dimostrato che è possibile integrare vincoli di forma complessi ed efficienti all’interno di un modello di programmazione lineare intera per l’ottimizzazione delle stope sotterranee. Questo apre la porta a una pianificazione mineraria più rigorosa, capace di trovare soluzioni realmente ottimali che massimizzano il valore nel rispetto della sicurezza e dei vincoli operativi.

È un campo di ricerca entusiasmante, dove la matematica incontra l’ingegneria per affrontare sfide complesse nel cuore della Terra. E noi siamo solo all’inizio!

Fonte: Springer