Modelli Frattali-Frazionari: Stiamo per Decifrare il Caos dei Sistemi Energetici?

Amici appassionati di scienza e numeri, oggi vi porto con me in un viaggio che definirei a dir poco elettrizzante! Immaginate di poter prevedere con una precisione mai vista prima come si comporterà un sistema complesso come quello della domanda e offerta di energia. Sembra fantascienza? Forse non più, grazie a strumenti matematici super innovativi che stanno emergendo: i modelli basati su derivate frattali-frazionarie. Sì, avete letto bene, “frattali” e “frazionarie” insieme! E credetemi, non è solo un gioco di parole accademico.

Recentemente, mi sono imbattuto in uno studio che mi ha letteralmente catturato, intitolato “A study on the existence of unique stable approximate solutions: fractal-fractional-based model of an energy supply–demand system”. Già dal titolo si capisce che la posta in gioco è alta: si parla di trovare soluzioni uniche, stabili e approssimate per un modello che descrive il sistema di domanda e offerta di energia (che chiameremo ES-DS, dall’inglese Energy Supply-Demand System), usando questi nuovi operatori frattali-frazionari. E la cosa più intrigante? Questi operatori tengono conto sia dell’ordine frazionario (che ci permette di descrivere la memoria storica di un sistema) sia della dimensione frattale (che cattura la complessità e l’irregolarità intrinseca di certi fenomeni). Un vero e proprio “due al prezzo di uno” per noi modellisti!

Perché i Modelli Matematici Sono i Nostri Supereroi Silenziosi

Prima di tuffarci nei meandri frattali-frazionari, facciamo un passo indietro. Perché ci danniamo tanto l’anima con i modelli matematici? Beh, semplice: sono strumenti potentissimi per analizzare, valutare e, soprattutto, prevedere come si evolveranno certi eventi. Pensate alle epidemie, ai mercati finanziari, ai cambiamenti climatici e, ovviamente, ai sistemi energetici. Negli ultimi anni, ne sono spuntati come funghi in tantissimi campi. Ad esempio, ci sono stati modelli per l’infezione da HIV, per la dinamica del virus SARS-CoV-2, per i virus informatici, e persino per abitudini come il fumo o per malattie come la tubercolosi. Anche l’ingegneria non è da meno: pensate all’elaborazione di immagini o alla modellizzazione delle batterie al litio per i veicoli elettrici. Insomma, la matematica è ovunque, e il calcolo frazionario sta diventando una superstar.

Il Sistema Domanda-Offerta di Energia: Un Gigante Complesso

L’energia, ragazzi, è il motore dell’economia di un paese e ha un impatto diretto sulla nostra vita quotidiana. La sua produzione e fornitura possono essere influenzate da una miriade di fattori e circostanze. Ecco perché la sicurezza dell’approvvigionamento energetico è una delle preoccupazioni principali da anni. Il sistema ES-DS è intrinsecamente complesso e instabile; basta un nonnulla per alterarlo. Per questo, avere modelli affidabili per sviluppare strategie a lungo, medio e breve termine è cruciale se vogliamo mantenere un certo controllo e fare proiezioni sensate.

Già nel 2006, alcuni ricercatori avevano proposto un modello ES-DS tridimensionale. Successivamente, questo modello è stato espanso a quattro dimensioni, introducendo equazioni differenziali non lineari con vari parametri. Le quattro “protagoniste” di questo sistema, le funzioni di stato, sono:

• ERD (Energy Resource Demand – digamma₁): la domanda di risorse energetiche in una certa area A.
• ERS (Energy Resource Supply – digamma₂): l’offerta di risorse energetiche da un’area B verso l’area A.
• ERI (Energy Resource Import – digamma₃): l’importazione di risorse energetiche nell’area A.
• RER (Renewable Energy Resources – digamma₄): le risorse energetiche rinnovabili dell’area A.

A queste si aggiungono un sacco di parametri che descrivono, ad esempio, l’elasticità della domanda, il fattore di offerta, i costi e i benefici dell’importazione, e l’impatto delle rinnovabili. Quando si usano certi dati, questo sistema può mostrare un comportamento caotico, il che rende le previsioni un vero rompicapo!

Arrivano gli Operatori Frattali-Frazionari: La Nuova Frontiera

Ed è qui che entra in gioco la genialata di cui vi parlavo all’inizio. Lo studio che ho analizzato propone di modellizzare questo sistema ES-DS usando le derivate frattali-frazionarie, introdotte da Atangana. Questi operatori sono definiti basandosi sia sull’ordine frazionario (chiamiamolo 𝜁) sia sulla dimensione frattale (chiamiamola ϖ) del fenomeno in esame. Il grande vantaggio? Permettono di studiare contemporaneamente la struttura frazionaria e la dimensione frattale del modello matematico. I risultati numerici e computazionali sembrano mostrare un comportamento migliore rispetto ai classici modelli di ordine frazionario.

L’obiettivo di questa ricerca è stato quindi quello di analizzare le proprietà qualitative di un modello ES-DS che utilizza proprio queste derivate frattali-frazionarie con un “kernel” di tipo power-law (legge di potenza). Il modello matematico, con le sue quattro equazioni differenziali (una per ogni funzione di stato digamma₁, digamma₂, digamma₃, digamma₄) e le condizioni iniziali, è stato esaminato sotto quattro aspetti principali:

1. Esistenza della soluzione: Hanno usato i teoremi di punto fisso di Leray-Schauder e le contrazioni 𝑝-𝑞 per dimostrare che una soluzione esiste.
2. Unicità della soluzione: Qui è entrato in gioco il principio di Banach per le contrazioni.
3. Stabilità della soluzione: Sono state definite le condizioni per diversi tipi di stabilità (come la stabilità di Ulam-Hyers) per confermare l’esistenza di soluzioni uniche e stabili.
4. Soluzioni approssimate: È stata formulata una nuova versione del metodo di Adams-Bashforth (AB) per simulare le soluzioni stabili approssimate, usando MATLAB.

Inoltre, hanno trasformato il modello frattale-frazionario in un modello frazionario di tipo Caputo (rimuovendo l’ordine frattale ϖ) e hanno applicato un metodo numerico basato sulla matrice operazionale di Taylor (TOM) per simulare nuovi grafici e confrontarli con quelli del modello frattale-frazionario.

Esiste una Soluzione? E Se Sì, È Unica?

Prima di mettersi a fare calcoli e simulazioni, la domanda fondamentale è: esiste davvero una soluzione per questo sistema dinamico così formulato? La risposta, grazie alla teoria dei punti fissi, è sì! I ricercatori hanno definito uno spazio di Banach e riformulato il problema come un problema di punto fisso. Utilizzando un teorema che coinvolge le cosiddette contrazioni 𝑝-𝑞 e le mappe 𝑝-ammissibili, sono riusciti a dimostrare che, sotto certe condizioni sulle funzioni del modello, esiste almeno una soluzione.

Non contenti, hanno usato anche il teorema di Leray-Schauder (un altro potente strumento della teoria dei punti fissi) per fornire ulteriori condizioni di esistenza. Questo teorema, in soldoni, dice che o una certa funzione (operatore) ha un punto fisso, oppure succede qualcos’altro di specifico che, nel loro caso, sono riusciti a escludere, garantendo quindi l’esistenza della soluzione.

Ma una soluzione che esiste e basta non è sufficiente, vogliamo che sia unica! Altrimenti, quale scegliamo? Anche qui, i matematici hanno i loro assi nella manica. Assumendo che le funzioni del modello soddisfino certe condizioni di Lipschitz (che, semplificando molto, limitano quanto velocemente una funzione può cambiare), e usando il principio di contrazione di Banach, hanno dimostrato che se una certa combinazione di parametri è minore di 1, allora il modello ES-DS frattale-frazionario ha un’unica soluzione. Questo è un risultato importantissimo, perché ci dice che il modello è ben posto.

Stabilità: La Chiave per Previsioni Affidabili

Avere una soluzione unica è bello, ma se questa soluzione è talmente sensibile alle condizioni iniziali o a piccole perturbazioni da “impazzire” subito, non ce ne facciamo molto. Qui entra in gioco il concetto di stabilità di Ulam-Hyers (UH) e le sue generalizzazioni (Ulam-Hyers-Rassias, UHR). In pratica, un sistema è stabile in senso UH se, quando troviamo una soluzione approssimata che non soddisfa perfettamente le equazioni (magari a causa di errori di misurazione o di calcolo), esiste una soluzione esatta del sistema che le è “vicina”. La distanza tra la soluzione approssimata e quella esatta è controllata dall’entità dell’errore iniziale.

I ricercatori hanno dimostrato che il loro modello ES-DS frattale-frazionario è stabile sia in senso UH che UHR (e nelle loro versioni generalizzate) sotto certe condizioni, principalmente legate alle costanti di Lipschitz delle funzioni del modello. Questa è una notizia fantastica, perché significa che le soluzioni numeriche che troveremo saranno robuste e affidabili!

Dalla Teoria alla Pratica: Simulazioni Numeriche che Parlano

Dopo tutte queste belle dimostrazioni teoriche, è il momento di vedere cosa succede nel mondo reale (o meglio, simulato). Per ottenere soluzioni numeriche approssimate del modello ES-DS frattale-frazionario, hanno adattato il metodo di Adams-Bashforth (AB), che si basa sui polinomi di Lagrange a due passi. Hanno implementato questo algoritmo in MATLAB e hanno iniziato a giocare con i parametri.

Hanno usato un set di parametri forniti in letteratura e valori iniziali specifici per le quattro funzioni di stato (digamma₁, digamma₂, digamma₃, digamma₄). Inizialmente, hanno impostato l’ordine frazionario 𝜁 e l’ordine frattale ϖ entrambi a 1 (che corrisponde al caso classico, con derivate intere). I risultati? Un bel comportamento caotico, come ci si aspettava da studi precedenti su modelli simili! Le simulazioni 3D degli attrattori caotici erano lì a dimostrarlo.

Poi, la parte più interessante: cosa succede con ordini 𝜁 e ϖ non interi? Hanno provato valori come 0.65, 0.75, 0.85 e 0.95 (sia per 𝜁 che per ϖ). E qui la sorpresa: per i valori più bassi (0.65, 0.75, 0.85), le funzioni di stato mostravano comportamenti più stabili. Tuttavia, per 𝜁 = ϖ = 0.95, il sistema tornava a esibire un comportamento caotico. Approfondendo l’analisi con valori di 𝜁 e ϖ nell’intervallo [0.90, 0.99], hanno concluso che aumentare il valore di questi ordini tende a spingere il modello ES-DS frattale-frazionario verso comportamenti più caotici. Questo ci dice che la “memoria” e la “complessità frattale” del sistema giocano un ruolo cruciale nella sua dinamica!

Un Confronto Illuminante: Il Modello Frattale-Frazionario vs. Caputo

Per non lasciare nulla al caso, i ricercatori hanno anche voluto confrontare il loro modello con una versione più “semplice”, basata solo su derivate frazionarie di tipo Caputo (quindi, eliminando la dimensione frattale ϖ e tenendo solo l’ordine frazionario 𝜁). Per risolvere numericamente questo modello Caputo, hanno usato una tecnica diversa, chiamata fractional Taylor Operational Matrix (TOM-technique).

Hanno utilizzato un set di parametri leggermente diverso (sempre da letteratura) e valori iniziali differenti. Anche in questo caso, con ordine intero, hanno osservato attrattori caotici. Poi, hanno confrontato le traiettorie numeriche ottenute con il metodo AB (per il modello frattale-frazionario con ϖ=1, che si riduce a un tipo di frazionario) e quelle ottenute con la tecnica TOM (per il modello Caputo) usando lo stesso ordine intero. I risultati erano molto simili!

Infine, hanno illustrato il comportamento delle quattro funzioni di stato del modello Caputo con un ordine frazionario 𝜁 = 0.95, usando la tecnica TOM. Anche qui, le dinamiche erano complesse e interessanti.

La conclusione di questo confronto? Entrambe le tecniche numeriche (AB per il frattale-frazionario e TOM per il Caputo) danno risultati simili e coerenti quando applicate a versioni comparabili dei modelli. Questo è rassicurante e suggerisce che gli approcci sono validi.

Cosa Ci Riserva il Futuro?

Questo studio, a mio parere, è un passo avanti notevole. Ha preso un sistema complesso come quello della domanda e offerta di energia e l’ha analizzato con strumenti matematici all’avanguardia, le derivate frattali-frazionarie. Non solo hanno dimostrato l’esistenza, l’unicità e la stabilità delle soluzioni (che non è poco!), ma hanno anche fornito metodi numerici per calcolarle e hanno esplorato come gli ordini frattali e frazionari influenzano il comportamento del sistema.

I risultati numerici e grafici mostrano che questi nuovi modelli possono catturare dinamiche complesse, inclusi i comportamenti caotici, e che la scelta degli ordini 𝜁 e ϖ è fondamentale. L’idea di poter studiare simultaneamente la memoria storica e la complessità geometrica/strutturale di un sistema è potentissima.

Cosa ci aspetta? Gli autori stessi suggeriscono che studi futuri potrebbero esplorare nuovi algoritmi numerici basati su derivate frazionarie post-quantistiche (sì, la frontiera si sposta sempre più in là!) e generalizzare i modelli frattali-frazionari in quel contesto. Io, personalmente, sono entusiasta di vedere come questi strumenti si evolveranno e quali altri sistemi complessi riusciremo a decifrare meglio grazie a loro. La matematica, amici miei, non smette mai di sorprenderci!

Fonte: Springer