Il Mistero Quantistico degli Stati di Werner: Nuove Piste tra Disuguaglianze e Distillabilità

Ragazzi, preparatevi a un viaggio nel cuore pulsante della meccanica quantistica, un mondo dove le regole della fisica classica vanno in frantumi e l’intuizione spesso ci abbandona. Oggi voglio parlarvi di uno dei rompicapi più affascinanti e longevi della teoria dell’informazione quantistica: il mistero degli stati entangled “inutili”. Sembra un controsenso, vero? Eppure, da quasi 30 anni, noi fisici ci arrovelliamo su una domanda specifica: esistono stati quantistici che possiedono una strana proprietà matematica chiamata “trasposizione parziale negativa” (NPT), ma che sono impossibili da “distillare”?

Cos’è la Distillabilità e Perché Ci Interessa?

Immaginate di avere due amici, Alice e Bob, che condividono molte copie identiche di uno stato quantistico. L’entanglement, quella connessione “spettrale” a distanza che tanto turbava Einstein, è una risorsa preziosa per compiti come la comunicazione sicura o il calcolo quantistico. La “distillabilità” è, in parole povere, la capacità di Alice e Bob di manipolare le loro copie condivise (usando solo operazioni locali, cioè agendo ognuno sulla propria parte) per estrarre da esse un numero minore di stati “perfettamente” entangled, come le famose coppie di Bell.

Uno stato è detto n-distillabile se, partendo da n copie, Alice e Bob riescono a ottenere almeno uno stato finale che sia ancora entangled (in particolare, uno stato a due qubit entangled). Se questo non è possibile per nessun numero n di copie, lo stato è detto indistillabile.

Ora, la proprietà NPT è spesso vista come un indicatore di entanglement “utile”. La domanda fondamentale, posta per la prima volta quasi tre decenni fa, è se questa associazione sia sempre valida. Potrebbero esistere stati NPT che, nonostante posseggano questa firma di entanglement, sono fondamentalmente inutilizzabili per estrarre entanglement puro, rendendoli quindi indistillabili? Questo è il Santo Graal che stiamo cercando.

Gli Stati di Werner: I Protagonisti del Dramma

Fortunatamente, non dobbiamo analizzare tutti gli infiniti stati quantistici possibili. Grazie a un’operazione chiamata “twirling”, si è dimostrato che il problema generale può essere ridotto allo studio di una famiglia specifica di stati, noti come stati di Werner. Questi stati, che dipendono da un singolo parametro (alpha) (compreso tra -1 e 1) e dalla dimensione d del sistema, hanno proprietà ben definite:

• Sono separabili (cioè non entangled) se e solo se (alpha ge -1/d). Questo coincide esattamente con la condizione di avere una trasposizione parziale positiva (PPT).
• Per (n=1), sono 1-indistillabili (cioè non si può estrarre entanglement da una singola copia) se e solo se (alpha ge -1/2).

La grande congettura (chiamiamola Congettura 1) è che gli stati di Werner siano indistillabili (per qualsiasi n) se e solo se (alpha ge -1/2). Se questa congettura fosse vera, allora per dimensioni (d ge 3), gli stati di Werner con (alpha) compreso tra (-1/2) e (-1/d) sarebbero esattamente gli stati NPT indistillabili che stiamo cercando!

La Nostra Strategia Rivoluzionaria: Dalla Distillabilità alle Disuguaglianze

Ed ecco dove entra in gioco il nostro lavoro. Abbiamo sviluppato una strategia completamente nuova per affrontare questo problema. L’idea chiave? Tradurre la condizione di distillabilità degli stati di Werner in un problema di disuguaglianze matematiche che coinvolgono la traccia parziale. La traccia parziale è un’operazione che, dato uno stato di un sistema composto (come quello di Alice e Bob), ci permette di “ignorare” una parte del sistema e vedere cosa rimane.

Il nostro primo risultato principale (Teorema 1) stabilisce proprio questa connessione: abbiamo definito una specifica “forma quadratica” (q^{(n)}(alpha, C)) che dipende dallo stato di Werner (tramite (alpha)) e da una generica matrice C. Abbiamo dimostrato che lo stato di Werner (rho_{alpha}) è n-distillabile se e solo se esiste una matrice C, con una caratteristica chiamata “rango” al massimo pari a 2, per cui questa forma quadratica diventa negativa ((q^{(n)}(alpha, C) < 0)).

Questa traduzione è potentissima! Trasforma un problema astratto di teoria dell'informazione quantistica in una questione di analisi matriciale: dobbiamo studiare la positività di queste forme quadratiche. Se riusciamo a dimostrare che (q^{(n)}(alpha, C)) è sempre non-negativa per (alpha ge -1/2) quando il rango di C è 2, avremmo dimostrato la Congettura 1!

Scoperte Inaspettate: Nuove Disuguaglianze e Connessioni

Lavorando su questa strada, non solo abbiamo creato un nuovo ponte concettuale, ma abbiamo anche scoperto nuove disuguaglianze di traccia parziale (Teorema 2). Queste disuguaglianze sono interessanti di per sé, come nuovi risultati matematici, ma gettano anche nuova luce sul problema originale.

Alcune di queste disuguaglianze sono direttamente collegate alla distillabilità (come quella per (n=2)), mentre altre (Proposizione 2) sono sorprendentemente legate alla condizione di separabilità degli stati di Werner ((alpha ge -1/d)). È affascinante vedere come proprietà quantistiche diverse (distillabilità e separabilità) trovino una corrispondenza in famiglie diverse di disuguaglianze matematiche. Abbiamo persino trovato disuguaglianze legate alla distillabilità del prodotto tensoriale di due stati di Werner, dimostrando ad esempio che combinazioni come (rho_{1/2} otimes rho_{-1/2}) sono 1-distillabili.

Un Passo Avanti Concreto: Il Limite per la 2-Distillabilità

Grazie a queste nuove disuguaglianze, siamo riusciti a ottenere un risultato parziale ma significativo. Nel Corollario 1, abbiamo dimostrato che per (alpha ge -1/4), gli stati di Werner (rho_{alpha}) sono sempre 2-indistillabili, indipendentemente dalla dimensione d del sistema.

Perché è importante? Perché per dimensioni (d ge 5), l’intervallo ([-1/4, -1/d)) è non vuoto. Questo significa che gli stati di Werner con (alpha) in questo intervallo sono:

• Entangled (perché (alpha < -1/d), quindi sono NPT)
• 2-indistillabili (grazie al nostro risultato)

Questo è un passo avanti concreto: abbiamo identificato una famiglia di stati entangled che resistono alla distillazione almeno fino a (n=2), e questo limite ((-1/4)) non dipende dalla complessità (dimensione d) del sistema! Certo, non è ancora il (-1/2) della congettura, ma è un progresso tangibile.

Le Grandi Congetture: La Bussola della Ricerca

Il nostro lavoro ci ha portato a formulare congetture più generali. La Congettura 2 ipotizza che la nostra forma quadratica (q^{(n)}(alpha, C)) sia non-negativa per matrici C di rango r quando (alpha ge -1/r). Come detto, provarla per (r=1) e (r=2) risolverebbe il problema originale della distillabilità. Abbiamo già dimostrato il caso (r=1) per (alpha = -1).

Andando oltre, abbiamo introdotto famiglie più generali di forme quadratiche, (q_v(alpha, C)), che dipendono da un vettore binario v che codifica diverse combinazioni di simmetrie e antisimmetrie. La Congettura 3 propone un limite generale per la positività di queste forme, che dipende sia dal rango r che dalla dimensione massima d dei sottosistemi: (alpha ge max{-1/r, -1/d}). Abbiamo dimostrato che questa congettura è valida quando (vert alpha vert le 1/d), collegando di nuovo queste disuguaglianze alla separabilità degli stati di Werner.

Orizzonti Futuri: Sistemi Tripartiti e Norme Generali

La nostra esplorazione non si è fermata ai sistemi bipartiti (Alice e Bob). Abbiamo iniziato ad analizzare il caso tripartito ((n=3)), che corrisponde alla 3-distillabilità. Le cose si complicano ulteriormente, ma abbiamo già ottenuto risultati parziali, ad esempio dimostrando la positività della forma quadratica (q^{(3)}(-1/2, C)) per matrici C hermitiane di rango 2 con autovalori di segno opposto.

Infine, abbiamo iniziato a chiederci se queste famiglie di disuguaglianze possano essere generalizzate ulteriormente, considerando non solo la norma 2 (Hilbert-Schmidt) ma anche altre norme (le Schatten p-norme) e diversi esponenti. I risultati numerici preliminari suggeriscono l’esistenza di vaste famiglie di disuguaglianze ancora da scoprire, con limiti che dipendono in modo continuo da tutti questi parametri (p, rango r, dimensione d).

Insomma, il viaggio è appena iniziato! Abbiamo aperto una nuova porta, traducendo un problema fondamentale dell’informazione quantistica nel linguaggio delle disuguaglianze di traccia parziale. Abbiamo trovato nuove disuguaglianze, ottenuto risultati concreti e posto le basi per future ricerche. Il mistero degli stati NPT indistillabili è ancora lì, ma forse, grazie a questo nuovo approccio, siamo un po’ più vicini a svelarlo. L’avventura nella complessità quantistica continua!

Fonte: Springer