L’Incredibile Danza dell’Energia Quantistica: Conservazione e Anomalie Nascoste nei Campi Auto-Interagenti!

Ciao a tutti, appassionati di misteri cosmici e rompicapi della fisica! Oggi voglio portarvi con me in un viaggio affascinante nel cuore della teoria quantistica dei campi, un posto dove l’energia e la materia giocano secondo regole davvero bizzarre. Parleremo di un protagonista fondamentale di questa storia: il tensore energia-impulso. Immaginatelo come il contabile dell’universo, quello che tiene traccia di quanta energia e quanto impulso (la “quantità di moto”) ci sono in giro e come si muovono.

Ma cos’è questo Tensore Energia-Impulso?

Nella fisica classica, e anche in quella quantistica, il tensore energia-impulso è una star. Non solo ci dice tutto sul contenuto energetico di un sistema fisico, ma è anche il “motore” che alimenta le equazioni di Einstein della relatività generale. In pratica, dice alla geometria dello spaziotempo come curvarsi in risposta alla presenza di materia ed energia. Una delle sue proprietà più fighe, a livello classico, è che, se consideriamo le configurazioni di campo “giuste” (quelle che rispettano le leggi del moto, dette on-shell), la sua divergenza è nulla. Questo, in parole povere, significa che l’energia e l’impulso si conservano. Una cosa non da poco, perché è essenziale affinché le equazioni di Einstein abbiano senso!

Il Salto nel Quantistico: Cominciano i Guai (e il Divertimento!)

Quando passiamo dal mondo classico a quello quantistico, le cose si complicano parecchio. Prendiamo un semplice campo scalare (immaginatelo come un valore numerico che riempie lo spaziotempo, tipo la temperatura, ma per le particelle fondamentali). Il tensore energia-impulso, in questo caso, è quadratico nel campo, cioè dipende dal campo moltiplicato per se stesso. A livello quantistico, però, non possiamo semplicemente moltiplicare i campi “a casaccio” nello stesso punto dello spaziotempo: verrebbero fuori dei risultati infiniti, un bel pasticcio!

Per risolvere questo problema, i fisici hanno inventato una procedura chiamata “Wick ordering” (o ordinamento di Wick). Su uno spaziotempo piatto come quello di Minkowski (il nostro caro vecchio spaziotempo senza gravità), si fa con gli operatori di creazione e distruzione delle particelle. Ma su uno spaziotempo curvo generico? Lì serve un approccio più sofisticato, quello algebrico alla teoria quantistica dei campi (AQFT).

L’AQFT ci permette di definire un tensore energia-impulso quantistico, ordinato secondo Wick, in modo locale e covariante (cioè che rispetta le simmetrie della relatività). Però, c’è un “ma”. La procedura per costruire questi polinomi di Wick coinvolge la sottrazione di una parte singolare della funzione a due punti di uno stato di Hadamard (uno stato quantistico “ben educato”). Questa parte, chiamata parametrix di Hadamard, ha due caratteristiche un po’ scomode:

• È una soluzione delle equazioni del moto solo fino a un termine “liscio” (smooth).
• La sua definizione non è unica, il che introduce delle libertà di regolarizzazione.

La prima proprietà è un bel problema: se classicamente la conservazione del tensore energia-impulso dipendeva dall’essere on-shell, ora questa garanzia salta! E non possiamo rinunciare alla conservazione a cuor leggero, altrimenti addio coerenza con le equazioni di Einstein.

Una Soluzione Elegante (per Campi Liberi) e l’Anomalia di Traccia

Per i campi scalari liberi (cioè che non interagiscono con se stessi), il problema è stato studiato a fondo. Un approccio interessante, proposto da Moretti nel 2003, parte da un’osservazione furba: già a livello classico, c’è una certa libertà nella definizione del tensore energia-impulso. Possiamo aggiungere un termine della forma (eta g_{mu nu }phi P_0phi), dove (eta) è un numero, (g_{mu nu}) è la metrica dello spaziotempo, (phi) il campo e (P_0) l’operatore di Klein-Gordon (l’equazione del moto del campo). Classicamante, se il campo è on-shell, questo termine è zero, conservato e la sua traccia è nulla. Non cambia nulla, insomma.

Ma a livello quantistico, a causa dell’ordinamento di Wick, questo termine “resuscita”! E qui sta il colpo di genio: Moretti ha mostrato che, se e solo se si sceglie (eta = frac{1}{3}), allora il tensore energia-impulso quantistico ordinato secondo Wick diventa a divergenza nulla! Fantastico, no?
Il prezzo da pagare è che, a livello della traccia del tensore (la somma dei suoi elementi diagonali), compare un contributo aggiuntivo che non dipende dallo stato quantistico, ma solo dalla massa del campo e dalla geometria dello spaziotempo. Questa è la famosa anomalia di traccia (o anomalia conforme). Non è un’esclusiva dei campi scalari, appare anche per altri tipi di particelle, come i fermioni.

E se i Campi Interagiscono? La Nostra Sfida!

Fin qui tutto bene per i campi liberi. Ma che succede se i campi interagiscono tra loro, ad esempio con un’auto-interazione cubica ((phi^3)) o quartica ((phi^4))? A livello classico, non cambia molto per il tensore energia-impulso. Ma a livello quantistico, la natura non lineare delle dinamiche stravolge il comportamento del sistema.

Nel nostro lavoro, abbiamo affrontato proprio questa sfida, usando un formalismo chiamato teoria quantistica dei campi algebrica perturbativa (pAQFT). È un modo matematicamente rigoroso per trattare le teorie di campo interagenti, applicabile anche su spaziotempi curvi. Qualcuno la considera un po’ ostica, specialmente su spaziotempo di Minkowski dove i diagrammi di Feynman sembrano più comodi. Ma noi siamo convinti che la pAQFT abbia un potenziale enorme per chiarire aspetti concettuali profondi.

Il nostro obiettivo era studiare il tensore energia-impulso quantistico per un campo scalare reale, massivo, con auto-interazione cubica o quartica. Proprio come nel caso libero, la necessità di rimpiazzare i prodotti classici di campi con i polinomi di Wick fa perdere la legge di conservazione. Adattando l’approccio di Moretti, abbiamo dimostrato che è ancora possibile aggiungere quel termine “magico” a livello classico (nullo on-shell, conservato e a traccia nulla). E a livello quantistico? Sorpresa! Ci permette di far sì che il tensore energia-impulso quantistico sia a divergenza nulla, almeno fino all’ordine (mathcal{O}(lambda^3)) nella costante di accoppiamento (lambda) (cioè, considerando le interazioni fino a un certo livello di complessità).

Abbiamo provato questo risultato specificamente per lo spaziotempo di Minkowski, perché volevamo fare un collegamento con modelli di interesse nella fisica adronica (quella che studia particelle come protoni e neutroni). Tuttavia, il nostro approccio e le formule che abbiamo ottenuto possono essere usati su uno spaziotempo globalmente iperbolico generico. Certo, in quel caso, per cancellare termini aggiuntivi nella divergenza del tensore energia-impulso (dovuti al potenziale di interazione), spunta fuori un contributo costruito con tensori geometrici. Su Minkowski, questo termine è zero, ma in generale si può cancellare sfruttando le libertà di regolarizzazione nella costruzione del tensore energia-impulso ordinato secondo Wick.

Perché Tutta Questa Fatica? Il Misterioso D-Term

Vi chiederete: “Ma perché vi interessa così tanto questa storia della traccia e della conservazione?”. Beh, una delle motivazioni principali è legata a una proprietà del tensore energia-impulso chiamata D-term. A differenza di altre caratteristiche delle particelle (come massa o spin), il D-term non è fissato da proprietà fondamentali, ma è legato alla variazione delle componenti spaziali della metrica dello spaziotempo, quindi si può esprimere tramite il tensore energia-impulso.
Studiare il D-term in teorie complesse come la cromodinamica quantistica (la teoria delle interazioni forti) è difficilissimo. Quindi, è utile partire da teorie più semplici. Il D-term per un campo scalare libero è stato calcolato. Il passo successivo logico è vedere come cambia con un’interazione piccolissima. Studi precedenti hanno mostrato che il D-term per teorie (Phi^4) e (Phi^3) è fortemente influenzato dalle interazioni. Sembra essere la proprietà delle particelle più sensibile alle variazioni della dinamica!
Ci aspettiamo quindi che il D-term possa essere estratto dall’anomalia di traccia del tensore energia-impulso interagente. Ecco perché questo lavoro è così importante!

Risultati Chiave e Prospettive Future

Nel nostro studio, abbiamo mostrato che, per un campo scalare con auto-interazione (sia (Phi^3) che (Phi^4)), è possibile generalizzare l’approccio di Moretti.
Per un’interazione quartica ((Phi^4)), abbiamo trovato che per rendere il tensore energia-impulso quantistico conservato (fino a (mathcal{O}(lambda^2)), qui ci siamo spinti un po’ meno per la divergenza ma abbiamo calcolato la traccia a quest’ordine), il famoso parametro (eta) deve essere (frac{1}{4}) (invece di (frac{1}{3}) come nel caso libero). Questo porta a una modifica dell’anomalia di traccia: non c’è più il termine anomalo “geometrico” del caso libero (quello con (v_1(z,z))), ma compare un contributo proporzionale al quadrato del campo interagente (che si annulla se il campo non ha massa). Questo perché il valore (eta = frac{1}{4}) rende il potenziale aggiunto quadratico nei campi.

Per un’interazione cubica ((Phi^3)), invece, (eta) deve essere (frac{1}{3}), proprio come nel caso libero! Di conseguenza, nella traccia ritroviamo il termine anomalo “geometrico” (proporzionale a (v_1(z,z)), che su Minkowski è (frac{m^4}{8})), più un nuovo termine dovuto all’interazione, proporzionale a (lambda^2). Questo è in accordo con altri risultati in letteratura che suggeriscono che, nel caso conformemente invariante (massa nulla e accoppiamento conforme (xi = frac{1}{6})), il primo contributo all’anomalia di traccia dipendente da (lambda) dovrebbe apparire all’ordine successivo nella teoria perturbativa. Contiamo di verificarlo in futuro!

È interessante notare che ponendo (eta = frac{1}{n}) (con (n=3) o (n=4) a seconda dell’interazione), il tensore energia-impulso quantistico che consideriamo diventa quadratico nei campi. Questo supporta l’idea che, ponendo la massa a zero, otteniamo un’anomalia di traccia indipendente dallo stato. Se, però, a ordini superiori della teoria perturbativa, (eta) dovesse dipendere da (lambda), questa bella proprietà potrebbe perdersi.

Insomma, il nostro viaggio ci ha mostrato che è possibile estendere l’elegante approccio di Moretti anche ai campi interagenti, almeno a livello perturbativo. Certo, bisogna tenere conto di un insieme più ampio di libertà di regolarizzazione, ma la strada sembra promettente per svelare altri segreti dell’energia e delle interazioni nel profondo regno quantistico. E chissà quali altre sorprese ci riserva il D-term!

Fonte: Springer