Gruppi Semplici Uniformemente Semi-razionali: Quando la Simmetria si Fa Uniforme!

Amici appassionati di numeri e strutture, oggi voglio portarvi con me in un viaggio entusiasmante nel cuore dell’algebra, più precisamente nella teoria dei gruppi. Parleremo di oggetti matematici chiamati gruppi semplici uniformemente semi-razionali. Lo so, il nome può sembrare un po’ intimidatorio, ma vi assicuro che l’idea di fondo è affascinante e, come spesso accade in matematica, si tratta di generalizzare e raffinare concetti che già conosciamo.

Un Passo Oltre la Razionalità

Partiamo da un concetto forse più familiare: quello di gruppo razionale. In parole povere, un gruppo è razionale se ogni suo elemento è coniugato a tutte le sue potenze che generano lo stesso sottogruppo ciclico. Un po’ tecnico, vero? Pensiamola così: prendiamo un elemento x e il sottogruppo ciclico che genera, (langle x rangle ). Se tutti i generatori di questo sottogruppo (cioè gli elementi (x^k) con k coprimo con l’ordine di x) stanno nella stessa classe di coniugio di x, allora x è un elemento razionale. Se questo vale per tutti gli elementi, il gruppo è razionale.

Ora, cosa succede se rilassiamo un po’ questa condizione? Entriamo nel mondo dei gruppi semi-razionali. Qui, per ogni elemento x, i generatori del suo sottogruppo ciclico (langle x rangle ) devono stare in al massimo due classi di coniugio: quella di x stesso, oppure quella di una sua potenza fissata, diciamo (x^{r_x}). Se questo vale per tutti gli elementi, il gruppo è semi-razionale. Notate quel piccolo (r_x)? Significa che la “seconda opzione” di coniugio potrebbe dipendere dall’elemento x che stiamo considerando.

E qui arriva il bello, il concetto che ci interessa oggi: i gruppi uniformemente semi-razionali. L’uniformità sta nel fatto che quella famosa potenza (r_x) è la stessa per tutti gli elementi del gruppo! Esiste cioè un intero r tale per cui, per ogni x nel gruppo, i generatori di (langle x rangle ) sono coniugati o a x o a (x^r). Se un tale r esiste, il gruppo è detto uniformemente semi-razionale (o, più specificamente, r-semi-razionale). Un caso particolare, ben noto, è quello dei gruppi “cut” o inversamente semi-razionali, che sono semplicemente i gruppi (-1)-semi-razionali.

Il Focus: Gruppi Semplici Non Abeliani

Il nostro obiettivo, in questa esplorazione, è stato quello di studiare i gruppi uniformemente semi-razionali non risolubili, con un’attenzione particolare ai gruppi semplici non abeliani finiti. Questi gruppi sono i “mattoni fondamentali” di tutti i gruppi finiti, un po’ come i numeri primi lo sono per gli interi. Capire le loro proprietà è quindi cruciale.

Già nel 1988, Feit e Seitz avevano classificato i gruppi semplici non abeliani che sono razionali: ne esistono solo due, (PSp_6(2)) e (POmega _8^+(2))! Pochi, vero? Successivamente, altri matematici hanno generalizzato il concetto di razionalità, come Trefethen nel 2017 con i gruppi quadratici razionali e m-razionali. Più di recente, nel 2017, Alavi e Daneshkhah hanno classificato i gruppi semplici semi-razionali. È emerso che ogni gruppo alterno è semi-razionale, ma ci sono solo un numero finito di gruppi semplici non alterni che godono di questa proprietà.

Dato che ogni gruppo uniformemente semi-razionale è, per definizione, anche semi-razionale, per i gruppi semplici non alterni la questione si riduceva a un controllo computazionale su una lista finita di candidati (e vedremo più avanti che la risposta è piuttosto elegante). La vera sfida, però, si è presentata con i gruppi alterni (A_n).

Quando i Gruppi Alterni Giocano Secondo Regole Uniformi

Determinare quali gruppi alterni (A_n) fossero uniformemente semi-razionali ha richiesto un approccio completamente diverso. I gruppi alterni inversamente semi-razionali erano già stati studiati, ma qui la faccenda era più generale. Abbiamo dovuto sviluppare alcuni strumenti per analizzare la “razionalità” delle permutazioni all’interno di un gruppo alterno.

Una permutazione (pi in A_n) è un elemento di (A_n). La sua classe di coniugio in (S_n) (il gruppo simmetrico più grande), (pi^{S_n}), o coincide con la sua classe in (A_n), (pi^{A_n}), oppure si spezza in due classi distinte in (A_n). Questo “splitting” avviene se e solo se la partizione associata a (pi) (il suo tipo di ciclo) è composta da numeri dispari e distinti tra loro. Chiamiamo queste permutazioni odd-distinct.

Se la classe non si spezza, (pi) è razionale in (A_n). Se si spezza, (pi) può essere semi-razionale o razionale. Abbiamo introdotto il concetto di partizione razionale: una partizione odd-distinct (lambda = [lambda_1, dots, lambda_m]) è razionale se il prodotto (prod lambda_i) è un quadrato perfetto. Si scopre che una permutazione odd-distinct (pi in A_n) è razionale in (A_n) se e solo se il suo tipo (alpha(pi)) è una partizione razionale.

Il cuore della dimostrazione per i gruppi alterni è stato un risultato aritmetico che potrebbe avere un interesse a sé stante. Abbiamo dimostrato che:
Un intero positivo n è la somma di interi positivi dispari, distinti a due a due, il cui prodotto è un quadrato se e solo se (n in {1,9,10}), oppure (n ge 23) e (n) non appartiene a un insieme specifico di eccezioni (come 27, 28, 29, ecc.).
Questo teorema, che chiameremo Teorema B per comodità, è stato un passo cruciale.

Armati di questi strumenti, siamo giunti al risultato principale per i gruppi alterni (Teorema A):
Il gruppo alterno (A_n) è uniformemente semi-razionale se e solo se (n < 23) e (n notin {16, 21}).
Sorprendente, vero? Una condizione così netta! Per (n) piccoli (minori di 110, ma con le eccezioni di 16 e 21 sotto 23), abbiamo potuto verificare direttamente, a volte con l’aiuto di software come GAP per le tabelle dei caratteri. Per esempio, abbiamo dimostrato che (A_{16}) e (A_{21}) non sono uniformemente semi-razionali trovando insiemi specifici di partizioni che portavano a una contraddizione.

E gli Altri Gruppi Semplici? Una Classificazione Completa

Come accennato, per i gruppi semplici non abeliani che non sono gruppi alterni, la situazione è stata diversa. Poiché ogni gruppo uniformemente semi-razionale è anche semi-razionale, potevamo partire dalla classificazione esistente dei gruppi semplici semi-razionali (con alcune correzioni e aggiunte note in letteratura). Si trattava quindi di verificare, per un numero finito di gruppi, se fossero effettivamente uniformemente semi-razionali.

Il risultato (Teorema C) è stato molto soddisfacente:
Sia G un gruppo semplice non abeliano finito che non è un gruppo alterno. Se G è semi-razionale, allora G è uniformemente semi-razionale.
Questo significa che, per questa classe di gruppi, le due proprietà coincidono! Utilizzando le tabelle dei caratteri disponibili in GAP, abbiamo potuto confermare questa proprietà per tutti i candidati e determinare anche la loro “semi-razionalità” (cioè l’insieme degli interi r validi, modulo un certo sottogruppo chiamato “razionalità del gruppo”).

Nello studio originale, abbiamo fornito tabelle che elencano questi gruppi, specificando per quale intero r sono r-semi-razionali e la loro “semi-razionalità” completa. Abbiamo anche introdotto un invariante chiamato (2^k)-USR, dove (2^k) è la massima potenza di 2 che divide l’ordine di ogni (r) possibile (modulo l’esponente del gruppo). I gruppi “cut”, ad esempio, sono 2-USR.

Conclusioni di un Viaggio Matematico

È stato un percorso affascinante attraverso definizioni, lemmi tecnici (sui coniugatori standard e i loro segni, che ho omesso per brevità ma che sono stati fondamentali!), risultati aritmetici inaspettati e, infine, la classificazione desiderata. Abbiamo scoperto che la proprietà di essere uniformemente semi-razionale è piuttosto restrittiva per i gruppi alterni, limitandola a valori di n relativamente piccoli. Per gli altri gruppi semplici non abeliani, invece, questa proprietà si allinea perfettamente con la più generale semi-razionalità.

La matematica è anche questo: definire nuove proprietà, vedere come si comportano le strutture note rispetto ad esse e cercare di tracciare una mappa completa del territorio esplorato. E ogni volta, si scoprono connessioni sorprendenti e una bellezza intrinseca nelle regole che governano questi mondi astratti. Spero di avervi trasmesso un po’ della meraviglia che si prova di fronte a queste scoperte!

Fonte: Springer