Gravità Carrolliana 3D: Come l’Abbiamo Fatta Nascere da un Mondo Piatto!

Amici appassionati di fisica, preparatevi per un viaggio che vi farà girare la testa! Oggi voglio raccontarvi di come, armati di un po’ di matematica e tanta curiosità, siamo riusciti a esplorare un angolo affascinante dell’universo teorico: la gravità Carrolliana tridimensionale, facendola emergere, pensate un po’, da simmetrie tipiche di un mondo euclideo bidimensionale, piatto come un foglio di carta! Sembra roba da film di fantascienza, ma seguitemi e vedrete che la fisica sa essere più sorprendente di qualsiasi fiction.

Un’avventura nella fisica teorica: cos’è questa Simmetria di Carroll?

Avete mai pensato a cosa succederebbe se la velocità della luce, quel limite invalicabile che permea la relatività di Einstein, tendesse a zero? Sembra un controsenso, vero? Eppure, da questa idea apparentemente bizzarra nasce la cosiddetta simmetria di Carroll. È un concetto che ha iniziato a farsi strada negli ultimi anni, rivelandosi incredibilmente fecondo. Pensate che la simmetria di Poincaré, che sta alla base della relatività speciale, quando si spinge la velocità della luce a zero, si trasforma proprio in questa simmetria di Carroll. È, in un certo senso, il duale della contrazione non-relativistica (quella che ci porta alla fisica di Galileo, dove la velocità della luce è considerata infinita).

Inizialmente, la simmetria di Carroll era vista quasi come una curiosità matematica, un limite un po’ “strano” dell’universo di Poincaré, perché implicava un universo senza una vera e propria causalità come la intendiamo noi. Ma oggi, i modelli che esibiscono simmetrie Carrolliane sono spuntati come funghi in contesti diversissimi: dalla condensazione di tachioni alle teorie di campo conformi “warped”, dalle stringhe senza tensione alle simmetrie asintotiche dello spaziotempo, fino all’olografia piatta e persino all’orizzonte dei buchi neri! Insomma, un vero e proprio protagonista emergente nel panorama della fisica teorica.

Il nostro “asso nella manica”: l’espansione delle algebre di Lie

Ma come si fa a “costruire” queste teorie di gravità Carrolliana? E soprattutto, come si collega tutto questo a un mondo 2D? Qui entra in gioco il nostro strumento preferito: il metodo di espansione delle algebre di Lie. In particolare, abbiamo utilizzato una tecnica chiamata S-espansione. Non voglio annoiarvi con i dettagli tecnici, ma immaginate questa S-espansione come una specie di “ricetta magica” che ci permette non solo di derivare nuove algebre di Lie (e quindi nuove possibili simmetrie per le nostre teorie fisiche) ma anche di ottenere i loro “tensori invarianti”, che sono ingredienti chiave per costruire le cosiddette azioni di Chern-Simons (CS). Queste azioni CS sono un modo elegante e potente per descrivere teorie della gravità, specialmente in tre dimensioni.

Una piccola nota tecnica: per avere azioni CS ben definite, questi tensori invarianti devono essere “non degeneri”. Il regime Carrolliano puro non ha questo problema, ma alcune sue varianti, come quella Carrolliana-Galileiana, hanno bisogno di qualche “aiutino” (come le cariche centrali) per evitare la degenerazione.

Da dove siamo partiti? Le simmetrie euclidee 2D

Il nostro punto di partenza, come vi accennavo, è stato il mondo bidimensionale. Precisamente, abbiamo preso in considerazione l’algebra di AdS (Anti-de Sitter) euclidea 2D e la sua versione “piatta”, l’algebra di Poincaré euclidea 2D. So che i nomi possono spaventare, ma pensatela così: l’algebra AdS euclidea 2D è isomorfa all’algebra di Lorentz 3D, quella che descrive le rotazioni e i boost nello spaziotempo tridimensionale di Minkowski! Già qui si intravede un ponte tra 2D e 3D. L’algebra di Poincaré 2D euclidea, invece, si ottiene dalla precedente con un processo di contrazione, un po’ come “schiacciare” l’universo AdS per renderlo piatto.

Abbiamo costruito l’azione di Chern-Simons per queste algebre 2D. Per l’AdS euclidea 2D, tutto fila liscio, e le equazioni del moto ci dicono semplicemente che le curvature di gauge devono essere zero. Per la Poincaré euclidea 2D, invece, a causa della degenerazione del tensore invariante dopo la contrazione, la situazione è un po’ più complicata e non tutte le curvature si annullano imponendo le equazioni del moto.

La magia si compie: ecco la gravità Carrolliana 3D!

Ed eccoci al cuore della nostra ricerca! Applicando il metodo di S-espansione (specificamente una S-espansione seguita da una “riduzione”) alle nostre algebre euclidee 2D, siamo riusciti a far “sbocciare” le corrispettive algebre Carrolliane in tre dimensioni spazio-temporali.

Partendo dall’algebra AdS euclidea 2D, abbiamo ottenuto l’algebra di AdS-Carroll 3D. E, cosa fondamentale, abbiamo anche derivato il suo tensore invariante, che si è rivelato non degenere! Questo ci ha permesso di scrivere un’azione di Chern-Simons per la gravità di AdS-Carroll. Questa azione contiene due settori indipendenti: uno, diciamo “esotico”, e un altro che riproduce il termine standard della gravità di AdS-Carroll, che è isomorfo alla lagrangiana della gravità relativistica ( mathfrak{iso}(2,1) ) (quella di Einstein in 3D senza costante cosmologica) se si scambiano un po’ i ruoli dei campi.

E se volessimo una gravità di Carroll “piatta”, senza la costante cosmologica dell’AdS? Nessun problema! Possiamo applicare un limite di “spazio piatto” (costante cosmologica a zero, o raggio dell’AdS all’infinito) all’algebra di AdS-Carroll, ottenendo l’algebra di Carroll semplice.

Dalla Poincaré 2D alla Carroll-Galilei 3D

Seguendo una procedura analoga, partendo dall’algebra di Poincaré euclidea 2D (quella “piatta”), l’S-espansione ci ha condotto all’algebra di Carroll-Galilei 3D. Questa algebra può anche essere vista come una contrazione (un limite non-relativistico, dove la velocità della luce tende all’infinito!) dell’algebra di AdS-Carroll. È affascinante come questi concetti si intreccino! Anche qui, abbiamo costruito l’azione CS corrispondente. Tuttavia, proprio come nel caso della Poincaré 2D, il tensore invariante dell’algebra di Carroll-Galilei è degenere, il che significa che l’azione non ha termini cinetici per alcuni campi di gauge.

Una scoperta sorprendente: il limite cosmologico 2D e il non-relativismo 3D

E qui, amici, c’è una delle chicche più interessanti del nostro lavoro. Ricordate quando vi ho detto che per passare dall’algebra AdS euclidea 2D a quella di Poincaré euclidea 2D si fa un limite di costante cosmologica a zero ((Lambda rightarrow 0))? Bene, abbiamo scoperto che questa operazione, nel settore 2D, dopo aver applicato la nostra espansione per arrivare al 3D, si traduce in un limite non-relativistico ((c rightarrow infty)) nel settore tridimensionale! È pazzesco: un’operazione sulla costante cosmologica in 2D diventa un’operazione sulla velocità della luce in 3D. Questo ricorda un po’ la dualità tra l’algebra conforme di Galilei 2D e la simmetria asintotica della gravità piatta 3D (la famosa dualità (mathfrak{cga}/mathfrak{bms}_{3})), dove un limite piatto nell’algebra conforme si interpreta come un limite non-relativistico. Sembra che l’universo si diverta a giocare a nascondino con queste dualità!

Un piccolo intoppo (e come l’abbiamo superato): la degenerazione

Come accennato, il problema della degenerazione dei tensori invarianti è un po’ una spina nel fianco, sia per la Poincaré euclidea 2D che per la sua “figlia” espansa, l’algebra di Carroll-Galilei 3D. Ma noi fisici non ci arrendiamo facilmente! Come si risolve? Un modo, già noto in letteratura, è considerare un’estensione dell’algebra di Poincaré che ammetta una metrica invariante non degenere: l’algebra di Maxwell.

Così, abbiamo preso la versione euclidea 2D dell’algebra di Maxwell (che chiameremo Maxwell(_{2}^{textrm{E}})). Questa algebra ha una carica centrale in più rispetto a quella di Poincaré, e voilà, il suo tensore invariante è bello non degenere (a patto che una certa costante non sia zero). L’azione CS per questa Maxwell(_{2}^{textrm{E}}) è ben definita e ha termini cinetici per tutti i campi.

Applicando la nostra fidata S-espansione all’algebra di Maxwell(_{2}^{textrm{E}}), abbiamo ottenuto un’algebra di Carroll-Galilei estesa in 3D. E indovinate un po’? Il suo tensore invariante è non degenere! Questo ci ha permesso di costruire un’azione CS ben definita per questa gravità di Carroll-Galilei estesa. Questa azione contiene il termine di Carroll-Galilei che avevamo prima, più altri termini “esotici” e un termine che è isomorfo all’azione CS di Bargmann estesa (un’altra teoria non-relativistica) scambiando il ruolo di alcuni campi.

Non ci fermiamo qui: le algebre Post-Carroll-Newtoniane

Ma perché fermarsi? Abbiamo generalizzato ulteriormente i nostri risultati introducendo una nuova famiglia di teorie della gravità, che abbiamo battezzato Post-Carroll-Newtoniane. Come le abbiamo ottenute? Espandendo una famiglia ancora più grande di algebre euclidee 2D, le cosiddette algebre ({mathfrak {B}}_{k}). Le algebre di Poincaré(_{2}^{textrm{E}}) e Maxwell(_{2}^{textrm{E}}) sono solo i primi membri di questa famiglia (per (k=3) e (k=4) rispettivamente).

L’S-espansione di queste algebre ({mathfrak {B}}_{k}) 2D ci ha portato a delle algebre (mathfrak{pcn}_{m}) (Post-Carroll-Newtoniane, con (m=k-2)) in 3D. L’algebra di Carroll-Galilei e quella estesa che abbiamo visto prima sono casi particolari per (m=1) e (m=2). È interessante notare che queste algebre sono isomorfe alle algebre Post-Newtoniane (già note in altri contesti) se si scambiano alcuni generatori. Anche per queste algebre (mathfrak{pcn}_{m}), il tensore invariante è non degenere solo per valori pari di (m). Abbiamo quindi costruito le azioni CS generali per queste teorie Post-Carroll-Newtoniane.

Cosa ci riserva il futuro? Tante strade da esplorare!

Questo lavoro, credetemi, apre un sacco di porte e prospettive future davvero stimolanti.

• Potremmo estendere tutto questo al caso supersimmetrico per costruire modelli di supergravità di Carroll CS e le loro estensioni Post-Carroll-Newtoniane.
• C’è tutto il filone delle simmetrie quantistiche. Le formulazioni CS della gravità 3D hanno portato a scoperte importanti sui gruppi quantistici (come il gruppo (kappa)-Poincaré). Sarebbe fantastico indagare le simmetrie quantistiche che emergono dalle nostre costruzioni non-Lorentziane.
• Un’altra direzione naturale è l’accoppiamento con campi di gauge di spin superiore. La gravità di Carroll CS accoppiata con campi di spin-3 è stata studiata, ma la costruzione di un’iper-gravità di Carroll (con campi di spin-5/2) è ancora un territorio inesplorato. Il nostro approccio potrebbe essere la chiave!
• Infine, l’isomorfismo tra varie algebre Carrolliane e relativistiche offre un terreno fertile per analizzare le simmetrie asintotiche. Per esempio, l’isomorfismo tra l’algebra di AdS-Carroll e quella di Poincaré è stato usato per mappare la cosmologia piatta 3D sulla geometria di AdS-Carroll, mostrando che la sua algebra di simmetria asintotica è la famosa algebra (mathfrak{bms}_{3}). Chissà quali nuove intuizioni potremmo ottenere per i modelli di gravità Carrolliana generalizzati!

Insomma, come vedete, partendo da un’idea apparentemente semplice – espandere simmetrie 2D – siamo approdati a un intero universo di nuove possibilità per descrivere la gravità in regimi estremi. La fisica è un’avventura continua, e il bello è che ogni risposta apre mille nuove domande!

Fonte: Springer