TOPSIS Si Rinnova: Decidi Tu Quanto Conta la Media e Quanto il “Rischio”!

Ciao a tutti! Oggi voglio parlarvi di qualcosa che mi appassiona molto nel mondo delle decisioni complesse: come scegliere l’opzione migliore quando ci sono mille fattori contrastanti da considerare. Pensateci: scegliere un’auto nuova, un investimento, persino la prossima meta delle vacanze… è un bel rompicapo, vero? Esistono strumenti matematici per aiutarci, i cosiddetti Sistemi di Supporto alle Decisioni Multi-Criteria (MCDSS), e uno dei più famosi si chiama TOPSIS.

Cos’è TOPSIS e Perché se ne Parla?

TOPSIS (che sta per Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) è un metodo piuttosto popolare per mettere in classifica diverse alternative. Immaginate di avere più opzioni (tipo diversi modelli di smartphone) valutate secondo vari criteri (prezzo, durata batteria, qualità fotocamera…). TOPSIS calcola quanto ogni opzione è “vicina” a un’ipotetica soluzione ideale (il top del top in tutto) e quanto è “lontana” da una soluzione anti-ideale (la peggiore possibile). Combinando queste distanze, tira fuori una classifica finale.

Per molto tempo, abbiamo pensato che TOPSIS fosse fondamentalmente diverso da altri metodi molto usati, quelli basati sull’utilità. Questi ultimi, come il metodo SAW o la famiglia UTA, funzionano in modo diverso: assegnano un punteggio di “utilità” a ogni caratteristica di ogni opzione e poi fanno una media pesata per ottenere un valore complessivo. Più alto il valore, migliore l’opzione. Sembravano due mondi separati: da una parte le distanze geometriche di TOPSIS, dall’altra le medie di utilità.

La Sorpresa: TOPSIS Nasconde un Segreto!

Ed ecco la parte affascinante, scoperta relativamente di recente! Si è visto che le distanze usate da TOPSIS non sono poi così “geometriche” e basta. Possono essere scomposte in due componenti molto significative, legate proprio al concetto di utilità:

• La Media Pesata Scalata (WM – Weight-scaled Mean): Praticamente, una misura di quanto “in media” un’alternativa sia buona, tenendo conto dell’importanza (peso) dei vari criteri. Molto simile a quello che fanno i metodi basati sull’utilità!
• La Deviazione Standard Pesata Scalata (WSD – Weight-scaled Standard Deviation): Questa misura ci dice quanto le performance dell’alternativa siano “disperse” o “variabili” tra i diversi criteri. È un po’ come misurare la consistenza o, se volete, il “rischio” associato a quell’alternativa.

Questa scomposizione è stata una piccola rivoluzione! Ha mostrato che TOPSIS, in realtà, non solo usa un concetto simile alla media dell’utilità (WM), ma aggiunge anche un’informazione sulla sua variabilità (WSD). In pratica, TOPSIS è una generalizzazione naturale dei metodi basati sull’utilità, perché considera un fattore in più (la WSD). Possiamo visualizzare tutto questo in uno spazio bidimensionale chiamato WMSD-space, dove ogni alternativa è un punto definito dalle sue coordinate WM e WSD. È uno strumento potentissimo per capire cosa succede “sotto il cofano” di TOPSIS.

Il Problema: Il Controllo Mancante

C’è un però. Nel TOPSIS classico, non abbiamo modo di dire al metodo: “Ehi, per me conta di più la media (WM)!” oppure “No, preferisco alternative più consistenti, quindi dai più peso alla WSD!”. Il metodo fa i suoi calcoli e basta, il peso relativo di WM e WSD sul risultato finale è fisso e dipende solo dai dati. Un po’ limitante, no? E se volessi una classifica che penalizzi di più le alternative “rischiose” (alta WSD) o, al contrario, le premiasse?

La Soluzione: Rendere TOPSIS Flessibile!

Ed è qui che entra in gioco il lavoro di cui vi parlo oggi, che si basa proprio su queste scoperte. L’idea è stata: perché non modificare TOPSIS per dare al decisore (cioè a noi!) il controllo sul peso di WM e WSD? Abbiamo sviluppato delle generalizzazioni di TOPSIS introducendo nuove funzioni di aggregazione che fanno proprio questo.

Le Aggregazioni “Ellittiche”: Modellare le Preferenze

Abbiamo iniziato guardando le “isolinee” nello spazio WMSD. Le isolinee sono curve che uniscono tutti i punti (alternative) che ottengono lo stesso punteggio finale da TOPSIS. Per le funzioni di aggregazione classiche basate sulle distanze dall’ideale (chiamiamole I) e dall’anti-ideale (A), queste isolinee sono cerchi concentrici. Per l’aggregazione standard di TOPSIS (R, che combina I e A), le isolinee sono curve un po’ più complesse, ma sempre legate ai cerchi.

L’idea geniale è stata: e se trasformassimo questi cerchi in ellissi? Introducendo un parametro, che abbiamo chiamato ε (epsilon), possiamo “stirare” queste curve.

• Se ε > 1: L’ellisse si allunga verticalmente. Questo significa che stiamo dando più importanza alla WM (l’asse orizzontale) rispetto alla WSD (l’asse verticale). Stiamo “promuovendo” la media a scapito della dispersione.
• Se ε < 1: L’ellisse si allunga orizzontalmente. Stiamo dando più importanza alla WSD rispetto alla WM. Stiamo “promuovendo” la consistenza (o il rischio, a seconda di come lo interpretiamo).
• Se ε = 1: Ritorniamo esattamente al TOPSIS classico, con le sue isolinee “circolari”.

Queste nuove aggregazioni, che chiamiamo I^ε, A^ε e R^ε, rendono TOPSIS incredibilmente versatile! Possiamo decidere noi il trade-off tra performance media (WM) e variabilità (WSD). Spingendo ε verso valori molto alti (ε → +∞), l’influenza della WSD diventa quasi nulla, e TOPSIS si comporta praticamente come un metodo basato sulla sola utilità (WM), convergendo verso una nuova aggregazione che chiamiamo M (dove M = WM).

Le Aggregazioni “Lessicografiche”: Un Approccio a Due Passi

Ma non ci siamo fermati qui! Abbiamo pensato anche a un altro modo per gestire il trade-off, specialmente utile quando molte alternative hanno valori di WM molto simili. Abbiamo introdotto le aggregazioni lessicografiche. Immaginate un dizionario: le parole sono ordinate prima per la prima lettera, poi per la seconda, e così via. Qui facciamo qualcosa di simile:

1. Prima confrontiamo le alternative basandoci solo sulla WM.
2. Solo se due alternative hanno la stessa WM, allora andiamo a guardare la WSD per decidere quale sia migliore.

Abbiamo definito tre aggregazioni di questo tipo: I^L, A^L e R^L. Queste sono aggregazioni a due componenti (WM, WSD), dove la prima componente ha la priorità assoluta. Anche queste mantengono la caratteristica chiave di TOPSIS (l’influenza della WSD, anche se solo come “spareggio”), ma danno un peso preponderante alla WM, posizionandosi a metà strada tra le aggregazioni ellittiche con ε molto grande e l’aggregazione M (solo WM).

Ma a Cosa Serve Tutta Questa Flessibilità? Interpretare la WSD

Potreste chiedervi: perché dovrei voler dare più o meno peso alla WSD? Beh, la WSD, come dicevo, misura la dispersione dei valori di un’alternativa tra i vari criteri. Possiamo interpretarla in modi diversi:

• WSD come “Rischio” (da minimizzare): Se un’alternativa ha alta WSD, significa che magari eccelle in alcuni criteri ma è molto scarsa in altri. Potrebbe essere “rischiosa”. Se siamo pessimisti o avversi al rischio, preferiremo alternative con bassa WSD. L’aggregazione classica I (e la sua generalizzazione I^ε) tende a favorire bassa WSD.
• WSD come “Potenziale” (da massimizzare): Un’alta WSD potrebbe anche significare che l’alternativa ha picchi di eccellenza molto alti, anche se ha delle debolezze. Se siamo ottimisti o cerchiamo il massimo potenziale, potremmo preferire alta WSD. L’aggregazione classica A (e A^ε) tende a favorire alta WSD.
• Approccio Misto: L’aggregazione classica R (e R^ε) fa un mix: favorisce alta WSD per le alternative mediamente scarse (bassa WM) e bassa WSD per quelle mediamente buone (alta WM).

Le generalizzazioni che abbiamo introdotto permettono al decisore di scegliere esplicitamente quale di questi atteggiamenti adottare e con quale intensità, usando il parametro ε o scegliendo le aggregazioni lessicografiche.

Come Scegliere l’Aggregazione Giusta? Una Mini-Guida

Quindi, come navigare tra queste opzioni? Ecco un possibile percorso mentale:

1. Voglio considerare la dispersione (WSD) o mi basta la media (WM)?
   • No, mi basta la media: Usa l’aggregazione M (o un metodo classico come SAW).
   • Sì, voglio considerare anche la WSD: Vai al passo 2.
2. Voglio che la WSD influenzi sempre il risultato (continuamente) o solo come “spareggio” (sporadicamente)?
   • Solo come spareggio: Usa un’aggregazione lessicografica (I^L, A^L o R^L, a seconda della tua preferenza sul ruolo della WSD).
   • Sempre: Vai al passo 3.
3. Voglio l’influenza standard della WSD (come nel TOPSIS classico) o voglio modificarla?
   • Standard: Usa le aggregazioni classiche (I, A o R).
   • Modificata: Usa le aggregazioni ellittiche (I^ε, A^ε o R^ε). Scegli ε > 1 per diminuire l’influenza della WSD (promuovere WM), o ε < 1 (ma entro certi limiti!) per aumentarla (promuovere WSD).

Abbiamo testato tutto questo su un caso reale (valutazione delle condizioni tecniche di autobus) e i risultati mostrano chiaramente come, cambiando ε o usando le diverse aggregazioni, la classifica finale delle alternative possa cambiare, riflettendo le diverse preferenze del decisore sul trade-off tra WM e WSD.

In Conclusione

Quello che abbiamo fatto è stato prendere un metodo robusto e popolare come TOPSIS e renderlo ancora più potente e flessibile. Abbiamo svelato il suo legame nascosto con i metodi basati sull’utilità e, soprattutto, abbiamo dato al decisore la possibilità di “mettere le mani in pasta” e controllare come la performance media (WM) e la sua variabilità (WSD) influenzino la scelta finale. Credo che queste generalizzazioni siano uno strumento pratico molto interessante, capace di adattarsi meglio alle sfumature delle preferenze di chi deve prendere decisioni importanti. E chissà quali altre evoluzioni ci riserva il futuro in questo campo affascinante!

Fonte: Springer