Modelli Materiali Iperelastici: La Magia del Codice Automatico in MATLAB!

Ragazzi, parliamoci chiaro. Lavorare con materiali complessi, specialmente quelli iperelastici come gomme, gel, o tessuti biologici, è affascinante ma può diventare un vero rompicapo quando si tratta di simulazioni. Immaginate di dover descrivere come si deforma un materiale sotto carico, magari con deformazioni enormi. La matematica c’è, certo, ma tradurla in codice che un software di analisi agli elementi finiti (FEA) possa digerire… beh, quella è un’altra storia!

Il Muro dell’Implementazione: Perché è Così Difficile?

Il punto è questo: per implementare un nuovo modello costitutivo, soprattutto quelli super avanzati che stanno emergendo grazie all’intelligenza artificiale (AI) e al machine learning scientifico (SciML), serve un mix di competenze non da poco. Bisogna masticare matematica, informatica, meccanica del continuo e metodi numerici. Un bel po’ di roba, vero? Questo spesso diventa un blocco enorme, un vero e proprio muro che impedisce a modelli promettenti di diffondersi nella ricerca e, ancora di più, nell’industria. Pensate a quanti modelli geniali rimangono “sulla carta” perché implementarli è troppo complesso o richiede tempo e risorse che non tutti hanno. I materiali iperelastici, poi, sono fondamentali in tantissimi campi: dalla biomeccanica (pensate ai tessuti umani) all’ingegneria dei materiali (elastomeri), fino ad applicazioni più recenti persino sui metalli in certe condizioni. La loro caratteristica principale è la capacità di subire grandi deformazioni elastiche, e descriverle richiede formulazioni non lineari specifiche.

La Svolta: Generazione Automatica del Codice con MATLAB

E se vi dicessi che abbiamo trovato un modo per aggirare questo muro? Un sistema per rendere la vita *molto* più semplice? Ecco l’idea: sfruttare la potenza del Symbolic Math Toolbox di MATLAB per generare automaticamente il codice necessario! Sì, avete capito bene: automaticamente. In pratica, abbiamo messo a punto una metodologia che prende l’espressione matematica dell’energia di deformazione del materiale (la famosa funzione densità di energia di deformazione, `Ψ`, che dipende dal tensore di deformazione di Cauchy-Green destro, `C`) e, usando le capacità simboliche di MATLAB, deriva *da sola* le espressioni analitiche per due “ingredienti” fondamentali per qualsiasi simulazione FEA non lineare:

• Il secondo tensore dello stress di Piola-Kirchhoff (`S`): ci dice lo stato di sforzo nel materiale.
• Il tensore di elasticità del quarto ordine (`C`): descrive come cambia la rigidità del materiale mentre si deforma.

Questi due tensori sono il cuore pulsante di ogni subroutine materiale utente (le famose UMAT o VUMAT in software come ABAQUS). Derivarli a mano, specialmente per modelli complessi, è un processo lungo, tedioso e, diciamocelo, ad altissimo rischio di errori. Un segno sbagliato, un termine dimenticato, e la simulazione va a gambe all’aria.

Come Funziona la Magia? Il “Template Approach”

La nostra metodologia si basa su un approccio “a template” che avevamo già sviluppato in passato. Immaginate un modello di file MATLAB preimpostato, una sorta di scheletro della subroutine materiale. Cosa fa il nostro sistema automatico?

1. Voi definite l’energia di deformazione `Ψ` usando le variabili simboliche di MATLAB. Specificate da cosa dipende (ad esempio, dagli invarianti `I1, I2, I3` del tensore `C`, o dalle loro versioni modificate `Ī1, Ī2` e dal determinante `J` per modelli quasi incomprimibili).
2. Lanciate uno script che abbiamo preparato (chiamato `SymbolicDerivation.m`).
3. Lo script usa `diff` (il comando di derivazione simbolica di MATLAB) per calcolare le derivate di `Ψ` rispetto a `C` (per ottenere `S`) e poi derivare `S` rispetto a `C` (per ottenere `C`). Gestisce tutta la complessità delle derivate tensoriali!
4. Le espressioni simboliche risultanti per `Ψ`, `S`, e `C` vengono convertite in codice MATLAB leggibile e inserite automaticamente nei punti giusti del file template.

Il risultato? Un file `.m` completo e funzionante, pronto per essere integrato nel vostro codice FEA basato su MATLAB. E la cosa fantastica è che il codice generato è leggibile! Potete aprirlo e capire cosa sta succedendo, cosa che non è sempre vera con altri strumenti di generazione automatica (come AceGen, che produce codice super ottimizzato ma spesso incomprensibile). Con piccole modifiche, poi, questo approccio può generare anche subroutine in FORTRAN per software commerciali come ABAQUS.

Perché è Importante Oggi? Il Legame con AI e SciML

Questo strumento diventa ancora più potente nel contesto attuale, dove l’AI e lo SciML stanno rivoluzionando la scoperta di nuovi materiali. Tecniche come le Reti Neurali Artificiali Costitutive (CANNs) o le reti neurali aumentate dalla fisica (physics-augmented neural networks) stanno sfornando modelli materiali sempre più sofisticati e performanti, spesso “scoprendo” termini matematici che gli esperti umani avevano trascurato. Il problema, come dicevamo, è: come usare queste scoperte nelle simulazioni reali? Ecco che la generazione automatica di codice diventa il ponte perfetto tra la scoperta guidata dai dati e l’applicazione pratica nell’ingegneria. Rende fattibile testare e utilizzare rapidamente questi nuovi modelli avanzati.

Alla Prova dei Fatti: Esempi Concreti

Ovviamente, non ci siamo fermati alla teoria. Abbiamo testato il nostro sistema generando automaticamente il codice per due modelli iperelastici noti, proposti da Knowles e da Goel et al., usandoli per descrivere il comportamento dell’alluminio (sì, l’iperelasticità può descrivere anche certi aspetti dei metalli!). Abbiamo definito le loro energie di deformazione `Ψ` in MATLAB, lanciato lo script, e ottenuto le subroutine complete. Poi, abbiamo usato queste subroutine per simulare dei test standard, come la trazione equibiassiale (stirare un quadratino in due direzioni uguali) e la tensione confinata (o taglio puro). I risultati? Le curve carico-deformazione ottenute erano esattamente quelle attese, confermando che il codice generato automaticamente è robusto e corretto. Abbiamo visualizzato i risultati usando lo stress di Cauchy (`σ`), che è quello che si misura sperimentalmente ed è legato a `S` tramite il gradiente di deformazione `F`.

Conclusioni: Un Salto Avanti per la Modellazione

Insomma, questa metodologia di generazione automatica di codice in MATLAB è, a mio avviso, un bel passo avanti. Rende l’implementazione di modelli materiali iperelastici isotropi molto più user-friendly, veloce e decisamente meno prona a errori. Basta definire l’energia `Ψ` simbolicamente, e il gioco è fatto. Apre le porte all’uso pratico di modelli complessi, inclusi quelli scoperti tramite AI, sia nella ricerca accademica che nell’industria. E se volete provarci, abbiamo reso il codice sorgente disponibile liberamente su GitHub (cercate “Template-Approach”)! Spero che questo strumento possa aiutare tanti ricercatori e ingegneri a superare il “muro dell’implementazione” e a concentrarsi sulla parte più creativa della scienza dei materiali.

Fonte: Springer