Formule Asintotiche: Svelare i Segreti Nascosti delle Funzioni Bivariate con un “Cuore” Periodico

Amici e amiche della scienza e della matematica, oggi voglio portarvi con me in un’avventura intellettuale davvero stuzzicante! Immaginate di avere a che fare con funzioni un po’ particolari: funzioni che dipendono da due variabili, ma che rispetto a una di queste si comportano in modo periodico, come un’onda che si ripete all’infinito. Pensate, ad esempio, a un fenomeno fisico che evolve nel tempo (una variabile) ma che ha anche una dipendenza spaziale che si ripete ciclicamente (l’altra variabile). Affascinante, vero? Ecco, il mio lavoro si concentra proprio su queste “creature” matematiche, cercando di capire come approssimarle al meglio.

Un Salto nel Mondo dell’Approssimazione: Gli Operatori Lineari Positivi

Quando parliamo di approssimazione in matematica, spesso entrano in gioco i cosiddetti operatori lineari positivi. Non fatevi spaventare dal nome! Immaginateli come delle “macchine” speciali che prendono una funzione complicata e la trasformano in una più semplice, che però ne conserva le caratteristiche essenziali. L’obiettivo è che questa funzione approssimata sia “vicina” a quella originale, soprattutto quando un certo parametro (che di solito indichiamo con (n)) diventa molto, molto grande. Questo “avvicinarsi” è ciò che studiamo con le formule asintotiche: esse ci dicono esattamente come e quanto velocemente l’approssimazione migliora.

Il terreno di gioco è lo spazio (C_{2pi}left( left[ alpha ,beta right] times mathbb {R}right) ). Detta così sembra arabo, ma significa semplicemente l’insieme di tutte le funzioni continue (f) che prendono due input, diciamo (x) (da un intervallo ([alpha, beta])) e (t) (un numero reale qualsiasi), e restituiscono un numero reale. La particolarità è che queste funzioni sono (2pi)-periodiche rispetto alla seconda variabile (t). Questo vuol dire che (f(x, t) = f(x, t + 2pi)), proprio come (sin(t) = sin(t+2pi)).

Il grande matematico Korovkin, negli anni ’50, ha gettato le basi per capire la convergenza di queste successioni di operatori per funzioni più “semplici” (continue o periodiche in una variabile). Il mio contributo, e quello che vi racconto in questo articolo, è estendere questa indagine al caso “misto”: funzioni che sono un po’ l’una e un po’ l’altra cosa, periodiche solo rispetto a una delle due variabili. Credetemi, è un campo dove c’è ancora tanto da scoprire, e i risultati che ho ottenuto sembrano essere i primi del loro genere in questo specifico contesto!

Il “Come Funziona”: Dalle Funzioni Test ai Teoremi Chiave

Per capire come si comportano questi operatori, non possiamo testarli su tutte le infinite funzioni possibili. Usiamo quindi delle “funzioni test” speciali. Nel nostro caso, per una funzione bivariata (f(u,v)) e un punto di interesse ((x,t)), una funzione test cruciale è (varphi_{m,x,t}left( u,vright) =left| u-xright| ^{m}+2^{m}left| sin frac{v-t}{2} right| ^{m}). Questa funzione misura, in un certo senso, la “distanza” tra il punto generico ((u,v)) e il nostro punto fisso ((x,t)), tenendo conto della periodicità della seconda variabile (ecco perché c’è il seno!).

Il cuore della mia ricerca sono due teoremi principali. Questi teoremi stabiliscono delle condizioni equivalenti per ottenere una formula asintotica. Immaginate di avere un puzzle: i teoremi ci dicono che se alcuni pezzi si incastrano in un certo modo (condizione i), allora anche altri pezzi si sistemeranno di conseguenza (condizione ii e iii), e viceversa.

Ad esempio, il Teorema 1 si occupa di funzioni (f) che sono differenziabili nel punto ((x,t)). Una funzione è differenziabile se, zoomando abbastanza vicino a un punto, il suo grafico assomiglia molto a un piano. Il teorema dice, in sostanza, che se sappiamo come la nostra successione di operatori (V_n) si comporta quando applicata a (varphi_{1,x,t}) e (varphi_{2,x,t}) (cioè, se un certo limite che coinvolge (V_n(varphi_{2,x,t})) e (V_n(varphi_{1,x,t})) va a zero), allora possiamo scrivere una bella formula asintotica per (V_n(f)(a,b)) (dove ((a,b)) è il punto in cui valutiamo l’approssimazione). Questa formula coinvolge le derivate parziali di (f) nel punto ((x,t)) e il comportamento degli operatori su funzioni base come (u-x) (per la prima variabile) e (sin(v-t)) (per la seconda, periodicizzata).

Per dimostrare questi risultati, ho avuto bisogno di alcuni strumenti ausiliari, come una versione “mista” del concetto di funzione differenziabile in un punto, adatta al nostro contesto periodico-non periodico, e un lemma tecnico (Lemma 1) che ci aiuta a controllare gli errori quando ci allontaniamo dal punto ((x,t)).

Ancora Più in Profondità: Funzioni Due Volte Differenziabili

Ma non ci siamo fermati qui! E se la nostra funzione (f) fosse ancora più “liscia”, cioè due volte differenziabile nel punto ((x,t))? Questo significa che non solo assomiglia a un piano, ma la sua curvatura è ben definita. Per questo caso, ho sviluppato il Teorema 2. La logica è simile al Teorema 1, ma le formule diventano, come potete immaginare, un po’ più complesse. Ora entrano in gioco le derivate seconde di (f) e il comportamento degli operatori (V_n) su funzioni test di ordine superiore, come (varphi_{2,x,t}) e (varphi_{4,x,t}).

Anche qui, il teorema fornisce condizioni equivalenti: se il rapporto tra (V_n(varphi_{4,x,t})) e (V_n(varphi_{2,x,t})) tende a zero in un certo modo, allora possiamo scrivere una formula asintotica più raffinata per (V_n(f)(a,b)). Questa formula includerà termini con le derivate prime e seconde di (f), e il comportamento degli operatori su ((u-x)), (sin(v-t)), ((u-x)^2), ((u-x)sin(v-t)) e (sin^2(v-t)).

Potrebbe sembrare tutto molto astratto, e in parte lo è! Ma la bellezza della matematica sta anche nel costruire queste strutture generali che poi possono essere applicate a casi specifici. E infatti, ho sviluppato alcuni esempi concreti per mostrare come questi teoremi funzionano nella pratica.

Dalla Teoria alla Pratica: Esempi Illuminanti

Uno degli aspetti più gratificanti della ricerca è vedere la teoria prendere vita. Ho costruito degli operatori (V_n) specifici e ho applicato i miei teoremi per derivare formule asintotiche esplicite. Ad esempio, in una situazione, ho considerato operatori che sono una sorta di “prodotto tensoriale” di due operatori più semplici: uno che agisce sulla variabile non periodica e uno sulla variabile periodica. Un caso particolarmente interessante è quando l’operatore sulla variabile non periodica è l’operatore di Bernstein (famosissimo nell’approssimazione di funzioni su un intervallo) e quello sulla variabile periodica è l’operatore di de la Vallée-Poussin (un classico per le funzioni periodiche).

Per questi operatori “ibridi”, i miei risultati (in particolare un corollario del Teorema 2) permettono di scrivere una formula asintotica molto precisa. Si tratta di calcolare come questi operatori agiscono sulle funzioni test ((u-x)^m) e (sin^m((v-t)/2)), verificare che certe condizioni sui limiti siano soddisfatte, e voilà: la formula asintotica per una generica funzione (f) (due volte differenziabile) è servita! Questi esempi non solo confermano la validità dei teoremi generali, ma aprono anche la strada a ulteriori applicazioni e comprensione del comportamento di classi specifiche di operatori.

Ad esempio, per l’operatore (V_n) costruito con gli operatori di Bernstein (B_n) e de la Vallée-Poussin (L_n), si scopre che il limite di (n[V_n(f)(x,t) – f(x,t)]) (cioè, (n) volte l’errore di approssimazione) è una combinazione delle derivate seconde di (f) rispetto a (x) e (t), e di termini legati alle proprietà specifiche di (B_n) e (L_n). È come avere una lente d’ingrandimento che ci mostra esattamente come l’approssimazione si discosta dalla funzione reale, e a che velocità questo scostamento si riduce.

Perché Tutto Questo?

Vi chiederete: a cosa serve tutto ciò? Beh, capire come approssimare funzioni complesse è fondamentale in tantissimi campi. Dalla fisica all’ingegneria, dall’informatica grafica all’elaborazione dei segnali, spesso si ha bisogno di sostituire una funzione “intrattabile” con una più semplice, senza perdere troppa informazione. Le formule asintotiche ci danno una misura quantitativa di questa “perdita di informazione” e ci guidano nella scelta degli operatori migliori per un dato problema.

Nel mio caso, l’attenzione a funzioni con questa periodicità “mista” potrebbe essere utile in contesti dove un sistema ha una dinamica che si ripete (come una vibrazione o un ciclo stagionale) ma è anche influenzato da un altro fattore che non ha questa ciclicità. Sviluppare strumenti matematici precisi per questi scenari è un passo avanti verso una comprensione più profonda e una modellizzazione più accurata.

Spero che questo piccolo viaggio nel mondo delle formule asintotiche per funzioni bivariate semi-periodiche vi abbia incuriosito. È un esempio di come la matematica, partendo da concetti apparentemente astratti, possa fornire strumenti potenti per analizzare e comprendere la complessità del mondo che ci circonda, o almeno, la complessità delle funzioni che usiamo per descriverlo!

Fonte: Springer