Forme Olomorfe e Cicli Misteriosi: Nuova Luce sugli Spazi delle Curve

Ciao a tutti! Oggi voglio portarvi con me in un viaggio affascinante nel cuore della geometria algebrica, un mondo dove forme complesse e strutture nascoste si incontrano. Parleremo di oggetti matematici chiamati spazi dei moduli delle curve, in particolare (mathcal{M}_{g,n}), che sono come enormi “cataloghi” che classificano tutte le possibili superfici di Riemann (pensatele come superfici di ciambelle con *g* buchi) con *n* punti speciali marcati su di esse. Studiare questi spazi è fondamentale, ma la loro struttura completa, descritta dal loro anello di coomologia (H^*), è incredibilmente complessa, quasi intrattabile.

L’Anello Tautologico: Una Mappa Affidabile (Ma Completa?)

Per fortuna, all’interno di questa complessità esiste una sottostruttura più gestibile: l’anello tautologico (RH^*). Immaginatelo come una sorta di “mappa stradale” ben definita all’interno dell’immenso territorio della coomologia totale. Questo anello contiene le classi di coomologia che derivano da costruzioni geometriche “naturali” all’interno degli spazi dei moduli, come dimenticare un punto marcato o incollare due curve insieme. È generato da elementi ben noti ed è abbastanza ricco da includere la maggior parte delle classi che ci aspetteremmo di trovare studiando cicli algebrici “standard” (sottovarietà geometricamente significative).

La domanda che sorge spontanea, sia per lo spazio compattificato (overline{mathcal{M}}_{g,n}) (che include curve “degeneri” con nodi) sia per il suo interno (mathcal{M}_{g,n}) (solo curve lisce), è: questa mappa tautologica descrive l’intero territorio? Ovvero, (RH^* = H^*)?

Per alcuni casi semplici, la risposta è sì. Sappiamo che per (g=0) (sfere) e (g=1) (tori), tutte le classi di coomologia algebrica (quelle che provengono da sottovarietà) sono tautologiche. Ci sono anche altri casi noti per piccoli valori di *g* e *n* dove tutto sembra essere tautologico. Ma la situazione generale è molto più misteriosa.

La Caccia ai Cicli Non Tautologici

Trovare esempi di cicli algebrici la cui classe di coomologia non appartiene all’anello tautologico è stata una vera sfida. Il primo esempio fu scoperto da Graber e Pandharipande su (overline{mathcal{M}}_{2,20}), un ciclo legato a curve che sono rivestimenti doppi di curve di genere uno. Van Zelm ha poi esteso questi risultati, mostrando l’esistenza di cicli “biellittici” non tautologici in un’infinità di casi su (overline{mathcal{M}}_{g,n}), dimostrando di fatto che l’uguaglianza (RH^* = H^*) è possibile solo per un numero finito di coppie (g,n) quando (g ge 2).

Tuttavia, portare questi risultati all’interno, nello spazio (mathcal{M}_{g,n}) delle curve lisce, si è rivelato molto più difficile. Il ciclo originale di Graber-Pandharipande funziona su (mathcal{M}_{2,20}), ma quelli di van Zelm erano stati dimostrati essere non tautologici all’interno solo in casi molto specifici, legati alla condizione (g+m = 12). Prima del nostro lavoro, si conoscevano solo undici coppie (g,n) per cui esisteva un ciclo algebrico non tautologico su (mathcal{M}_{g,n})! Il caso più famoso era il ciclo biellittico su (mathcal{M}_{12}) (cioè con n=0).

La Nostra Scoperta: Un Universo di Cicli Nascosti

Ed è qui che entra in gioco il nostro risultato principale. Abbiamo fatto un passo avanti enorme, dimostrando l’esistenza di cicli algebrici non tautologici su (mathcal{M}_{g,n}) per un’infinità di nuove coppie (g,n)!

In particolare (e qui arriva il bello!), abbiamo dimostrato che:

• Per (g ge 4), esistono cicli algebrici non tautologici in (H^*(mathcal{M}_{g,2m})) per ogni (m ge 0) tale che (g+m=12) oppure (g+m ge 16).
• Lo stesso vale per (g=2) o (g=3), a patto che (g+m) sia pari.

Questo risultato cambia radicalmente il panorama! Per lo spazio (mathcal{M}_g) (senza punti marcati, n=0), sapevamo già che per (g le 9) tutti i cicli algebrici sono tautologici. Il caso (g=12) era l’unico precedentemente noto con un ciclo non tautologico (quello biellittico). Il nostro lavoro dimostra che esistono cicli non tautologici su (mathcal{M}_g) anche per (g=12) (confermando il risultato precedente) e per tutti i (g ge 16)! Restano aperti solo i casi (g=10, 11, 13, 14, 15).

La Strategia: Forme Olomorfe Come Chiave

Come abbiamo fatto? Abbiamo seguito una strategia simile a quella di Graber-Pandharipande e van Zelm, concentrandoci sui luoghi geometrici (mathcal{B}_{g rightarrow h, n, 2m}) all’interno di (mathcal{M}_{g,n+2m}). Questi sono i luoghi delle curve di genere *g* che ammettono una mappa di grado due (un rivestimento doppio) verso una curva di genere *h*, con un comportamento specifico dell’involuzione di rivestimento sui punti marcati (i primi *n* sono fissi, gli ultimi *2m* sono scambiati a coppie).

La tecnica chiave consiste nell’analizzare cosa succede a questi cicli quando li “tiriamo indietro” (pullback) tramite una specifica mappa di incollamento (i) che costruisce curve di genere *g* incollando due copie di curve di genere *h*. In certi casi, si può dimostrare una relazione del tipo:
(i^*[overline{mathcal{B}}_{g rightarrow h, 0, 2m}] = alpha [Delta] + B)
dove (Delta) è la diagonale nello spazio prodotto (mathcal{M}_{h,k} times mathcal{M}_{h,k}) (con (k) opportuno), (alpha) è una costante non nulla, e (B) è un ciclo supportato sul “bordo” dello spazio dei moduli.

Nei lavori precedenti (per h=1), si usava il fatto che la coomologia di (overline{mathcal{M}}_{1,11}) ha componenti non tautologiche di grado dispari e che il termine di bordo (B) doveva essere tautologico. Questo bastava per concludere che ([overline{mathcal{B}}]) era non tautologico.

Ma per altri valori di *h*, non si può più assumere che (B) sia tautologico solo perché sta sul bordo. Qui entra la nostra idea cruciale: usare l’esistenza di forme olomorfe su (overline{mathcal{M}}_{h,k}) per certi *h* e *k*. Le forme olomorfe (elementi di (H^{p,0})) sono intrinsecamente non tautologiche e, cosa fondamentale, non provengono dal bordo! La loro presenza nella decomposizione di Hodge-Künneth di (alpha [Delta]) fornisce un “segnale” non tautologico che non può essere cancellato dal termine (B), anche se (B) stesso non fosse tautologico.

Questo ragionamento porta al nostro Teorema B, che afferma che se esiste una forma olomorfa non nulla di un certo grado su (overline{mathcal{M}}_{h,k}), allora il ciclo ([mathcal{B}_{g rightarrow h, 0, 2m}]) è non tautologico su (mathcal{M}_{g,2m}) sotto certe condizioni numeriche su *g*, *h*, *m*.

Applicazioni e Oltre

Abbiamo poi applicato il Teorema B ai casi (h=1) e (h=2). Per (h=1), l’esistenza delle forme olomorfe necessarie era già nota per *k* dispari e sufficientemente grande ((k ge 11, k ne 13)). Per (h=2), abbiamo dimostrato noi stessi (Proposizione 2.3) che le forme olomorfe richieste esistono quando *k* è pari e (k ge 14). Combinando questi risultati con il Teorema B si ottiene proprio il Teorema A che vi ho enunciato prima!

Questo approccio non solo ci ha dato i risultati per (mathcal{M}_{g,2m}), ma produce anche nuove famiglie di classi non tautologiche sulla compattificazione (overline{mathcal{M}}_{g,n}), in particolare legate ai rivestimenti doppi di curve di genere due.

E non finisce qui! Anche se il Teorema A parla di un numero pari di punti marcati (*n* = 2*m*), possiamo estendere i risultati a un numero dispari di punti. Come? Lavorando con uno spazio leggermente più grande, (mathcal{M}^{text {rt}}_{g,n}), lo spazio dei moduli delle curve con “code razionali”. Usando questo spazio intermedio, possiamo dimostrare (Proposizione 3.3) che se abbiamo una classe non tautologica con *N* punti, ne abbiamo una anche con *N*+1 punti. Questo ci permette di affermare, ad esempio, che esistono classi algebriche non tautologiche anche su (mathcal{M}_{g,1}) (che coincide con (mathcal{M}^{text {rt}}_{g,1})) quando (g=12) o (g ge 16).

In conclusione, siamo riusciti a illuminare vaste regioni precedentemente inesplorate sulla mappa della coomologia degli spazi dei moduli delle curve, dimostrando che la struttura non tautologica è molto più ricca e diffusa di quanto si pensasse, specialmente all’interno dello spazio (mathcal{M}_{g,n}). La combinazione di cicli geometrici derivanti da rivestimenti doppi e le proprietà sottili delle forme olomorfe si è rivelata una chiave potente per svelare questi misteri. Naturalmente, la storia non è finita: i casi rimanenti per (mathcal{M}_g) (g=10, 11, 13, 14, 15) attendono ancora di essere compresi!

Fonte: Springer