Equazioni di Friedmann Termodinamiche: Vincoli Strettissimi sulla Densità Critica dell’Universo!

Ragazzi, parliamo di universo! Sapete, quelle equazioni fondamentali che descrivono come si espande il nostro cosmo, le famose equazioni di Friedmann? Beh, tenetevi forte, perché abbiamo trovato un modo nuovo e, lasciatemelo dire, affascinante per riscriverle, usando la termodinamica. E la cosa incredibile è che questo approccio ci permette di mettere dei paletti molto, molto più stretti su una quantità cruciale: la densità critica dell’universo.

Perché cambiare? Il problema della Costante di Hubble

Normalmente, le equazioni di Friedmann si basano sulla costante di Hubble ((H_0)), che misura il tasso di espansione attuale dell’universo. Il problema, vedete, è che misurare (H_0) è un bel grattacapo. Ci sono diverse tecniche che danno risultati leggermente diversi – la famosa “tensione di Hubble” – e questo crea incertezza.

Ma c’è un’altra grandezza cosmica che conosciamo con una precisione sbalorditiva: la temperatura del fondo cosmico a microonde (CMB), quel residuo fossile del Big Bang. È probabilmente il parametro cosmico misurato con più accuratezza. Eppure, il modello cosmologico standard ((Lambda)-CDM) non è in grado di *prevedere* il valore attuale di questa temperatura; lo prende come un dato di fatto.

La Svolta Termodinamica: Entra in Gioco la Temperatura CMB

Qui entra in gioco il nostro lavoro recente. Abbiamo sviluppato e dimostrato una solida relazione matematica tra la costante di Hubble e la temperatura del CMB. Questa relazione, derivata dalla legge di Stefan-Boltzmann in modo coerente con la relatività generale, ci permette di fare una cosa potentissima: riscrivere le equazioni di Friedmann sostituendo la problematica (H_0) con la precisissima temperatura del CMB ((T_t)).

La formula chiave che collega le due è:
[ T_t = frac{hbar c^3}{k_b G} frac{1}{4pi sqrt{R_{H_t} l_p}} ]
dove (R_{H_t} = c/H_t) è il raggio di Hubble al tempo t (e nel modello (R_{H_t}=ct) che stiamo esplorando, questo raggio è semplicemente (ct)), (l_p) è la lunghezza di Planck, (k_b) la costante di Boltzmann, (hbar) la costante di Planck ridotta e (c) la velocità della luce.

Possiamo anche esprimerla in modo più compatto usando una costante composita che abbiamo chiamato Upsilon ((Upsilon)):
[ T_t = frac{Upsilon}{R_{H_t}^{1/2}} ]
L’unica incertezza significativa in (Upsilon) deriva dalla misura della costante gravitazionale G.

Con questa relazione in mano, l’equazione di Friedmann per un universo piatto (k=0), che è supportato da molte osservazioni (incluso il CMB stesso) e sembra coerente con le recenti scoperte del telescopio JWST di galassie molto antiche (che mettono in difficoltà il modello (Lambda)-CDM standard ma supportano modelli tipo (R_{H_t}=ct)), diventa:
[ H_t^2 = left( frac{k_b T_t^2}{hbar c} 4pi sqrt{frac{c^3}{Ghbar}} right)^2 = frac{8pi G}{3} rho_{cr,t} ]
O, risolvendo per la densità critica (rho_{cr,t}):
[ rho_{cr,t} = frac{3}{8pi G} left( frac{k_b T_t^2}{hbar c} 4pi sqrt{frac{c^3}{Ghbar}} right)^2 = frac{6 pi k_b^4 T_t^4}{G hbar^3 c^5} ]
Notate? La costante di Hubble è sparita! La densità critica dipende ora solo dalla temperatura del CMB e da costanti fondamentali.

Densità Critica: Una Precisione Mai Vista Prima

E qui arriva il bello. Poiché la temperatura attuale del CMB ((T_0)) è misurata con estrema precisione (ad esempio, (T_0=2.725007 pm 0.000024) K da studi recenti come quello di Dhal et al.), possiamo calcolare la densità critica attuale (rho_{cr,0}) con un’incertezza ridicolmente piccola:
[ rho_{cr,0} = (8.399481^{+0.000296}_{-0.000296}) times 10^{-27} , kg cdot m^{-3} ]
Se confrontiamo questo risultato con quello ottenuto usando la formula tradizionale (rho_{cr,0}=frac{3H_0^2}{8pi G}) e i valori misurati di (H_0) (con tutta la loro incertezza e la “tensione” tra le misure), la differenza è abissale! La nostra formulazione termodinamica riduce drasticamente l’incertezza sulla densità critica. Questo ha implicazioni enormi per un sacco di stime sulla struttura su larga scala del cosmo.

Connessioni Profonde: Temperatura CMB, Hawking e Medie Geometriche

C’è di più. La nostra formula per la temperatura del CMB assomiglia in modo intrigante alla famosa formula della temperatura di Hawking per i buchi neri:

• Temperatura di Hawking: (T_H = frac{hbar c^3}{8pi G k_b M_{BH}})
• Nostra Temperatura CMB (riscritta): (T_t = frac{hbar c^3}{8pi G k_b M_{cr,t}} frac{1}{sqrt{N}}) (dove (M_{cr,t}) è la massa critica e N è un numero legato alla scala di Planck)

Sembra che ci sia una connessione profonda. Una possibile spiegazione, che abbiamo esplorato, è che la temperatura del CMB possa essere interpretata come una media geometrica tra la temperatura minima possibile (legata alla lunghezza d’onda massima, il diametro dell’universo osservabile) e la temperatura massima possibile (legata all’energia di Planck). Le medie geometriche spuntano spesso in termodinamica e fluidodinamica, quindi perché non in cosmologia? Questo suggerisce un legame elegante tra cosmologia, termodinamica e gravità quantistica, collegando tutto alla scala di Planck.

Anche la Costante Cosmologica Diventa “Termodinamica”

Possiamo applicare lo stesso trucco alla costante cosmologica (Lambda), quel termine misterioso legato all’energia oscura che accelera l’espansione dell’universo. Nel modello (Lambda)-CDM, si assume che (Lambda = frac{8pi G}{c^4} rho_{Lambda,0} = frac{8pi G}{c^4} Omega_{Lambda} rho_{cr,0}). Sostituendo la nostra espressione termodinamica per (rho_{cr,0}), otteniamo:
[ Lambda = Omega_{Lambda} frac{48 pi^2 k_b^4 T_0^4}{ hbar^3 c^9} ]
Usando il valore di (Omega_{Lambda} approx 0.6889) dalle osservazioni Planck e la nostra precisa (T_0), otteniamo un valore per (Lambda) con un’incertezza molto minore rispetto a quella ottenibile partendo da (H_0). Ancora una volta, la termodinamica ci regala precisione!

Uno Sguardo a Modelli Alternativi: L’Universo di Haug-Spavieri

Il nostro approccio non si limita al modello standard. Abbiamo esplorato anche altre soluzioni delle equazioni di campo di Einstein, come la soluzione “estremale” e una nuova soluzione esatta che abbiamo sviluppato (Haug-Spavieri). Questi modelli prevedono un universo piatto senza doverlo assumere e, cosa interessante, portano a una costante cosmologica negativa che emerge naturalmente dalla soluzione, non aggiunta a mano come fece Einstein nel 1917.

Anche per questi modelli, possiamo derivare un’equazione “tipo Friedmann” in forma termodinamica. Ad esempio, per il modello Haug-Spavieri, l’equazione diventa:
[ rho_t = frac{3 H_t^2}{4pi G} = frac{12 pi k_b^4 T_t^4}{G hbar^3 c^5} ]
Questa densità (rho_t) è esattamente il doppio della densità critica (rho_{cr,t}) che avevamo trovato prima! Cosa significa? In questi modelli, metà della densità totale dell’universo sembra provenire da effetti di energia gravitazionale relativistica, che non sono considerati in altre metriche. Questa energia gravitazionale si comporta in modo simile all’energia oscura. Quindi, questi modelli suggeriscono che l’energia oscura potrebbe non essere una componente “esotica” aggiunta, ma una manifestazione dell’energia gravitazionale stessa, prevista direttamente dalle equazioni di Einstein del 1916! In questo quadro, l’universo sarebbe composto per il 50% da materia/energia “normale” e per il 50% da questa energia gravitazionale relativistica (“oscura”).

Coerenza e Prospettive Future

Naturalmente, ci si chiede come questi modelli si confrontino con le osservazioni. Abbiamo già testato il nostro modello (R_{H_t}=ct) con i dati delle supernovae di tipo Ia (il database PantheonPlusSH0ES con 2286 punti dati) e l’accordo è quasi perfetto, portando anche a una stima di (H_0) con incertezza ridotta. Altri studi (di Melia e López-Corredoira) suggeriscono che la cosmologia (R_H = ct) è coerente anche con dati indipendenti dalle oscillazioni acustiche barioniche (BAO).

È ancora presto per dire se il nostro modello specifico si adatterà a tutti i tipi di dati cosmologici. Forse andrà bene così com’è, forse avrà bisogno di aggiustamenti. Solo la ricerca futura potrà dirlo. Ma anche se non dovesse spiegare tutto, resta un modello di grande interesse.

In Conclusione: Il Potere della Termodinamica Cosmica

La cosa fondamentale che voglio trasmettere è questa: riscrivere le equazioni di Friedmann in termini di temperatura CMB, grazie alla nostra comprensione più profonda del legame tra (H_0) e (T_0), ci fornisce uno strumento potentissimo. Ci permette di ottenere vincoli molto più stretti sulla densità critica e sulla costante cosmologica, sfruttando la precisione imbattibile della misura del CMB. Apre anche nuove prospettive su modelli cosmologici alternativi e sulla natura stessa dell’energia oscura. Insomma, guardare l’universo attraverso la lente della termodinamica si sta rivelando incredibilmente fruttuoso!

Fonte: Springer