Diagrammi CL: E Se la Logica si Potesse Disegnare? Vi presento ACLSystem!

Ciao a tutti! Oggi voglio parlarvi di qualcosa che mi affascina da matti: i diagrammi CL. Magari il nome non vi dice molto, ma fidatevi, sono uno strumento pazzesco che sta prendendo sempre più piede nel mondo del ragionamento diagrammatico. Pensate un po’, l’ispirazione arriva da lontano, da un certo *Cubus Logicus* di un tizio chiamato Lange, nel lontano 1714! Persino il grande Leibniz ci mise lo zampino, definendolo “algebra universalis”. Mica male, eh?

Ma cosa sono questi Diagrammi CL?

Immaginate un modo per “disegnare” la logica. I diagrammi CL sono proprio questo: strutture semplici, intuitive da disegnare e da capire, che però nascondono una potenza notevole. Non sono solo scarabocchi o schemini per aiutarci a pensare (anche se fanno pure quello!), ma possono diventare dei veri e propri sistemi formali. Nel lavoro che vi racconto oggi, abbiamo dimostrato come un sistema basato su questi diagrammi, che chiameremo ACLSystem (o più tecnicamente (mathcal{C}mathcal{L}_{Full})), possa avere una capacità espressiva simile alla classica algebra booleana delle proposizioni (la logica che magari avete studiato a scuola) o alla logica delle classi, senza perdere quella loro fantastica intuitività.

Questi diagrammi sono fighissimi perché mescolano elementi visivi presi da mondi diversi:

• Diagrammi di Eulero-Venn (quelli con i cerchi che si intersecano)
• Diagrammi a linee
• Diagrammi ad albero
• Quadrati delle opposizioni (roba da logici!)

Questa “contaminazione” li rende super versatili. Non a caso, sono stati riscoperti e usati per un sacco di cose: sillogismi estesi, ragionamento analogico, geometria delle opposizioni, semantica bitstring (ne parliamo tra un attimo) e ragionamento induttivo.

Perché Sbattersi con ACLSystem?

Vi chiederete: ma perché dovrei interessarmi a questi diagrammi? Ottima domanda! Ecco tre buoni motivi:

1. È un linguaggio visivo a sé stante: (mathcal{C}mathcal{L}_{Full}) ha una sua sintassi, le sue regole. Potete leggerlo come logica proposizionale, logica delle classi, e chissà cos’altro in futuro. È come imparare una nuova lingua, ma fatta di disegni!
2. Intuizione e velocità: Grazie alla combinazione di elementi visivi diversi, capire le informazioni e trarre conclusioni diventa più rapido e naturale. Per compiti complessi, possono essere meno “incasinati” dei diagrammi di Venn, per esempio. Una volta capite le regole base, i benefici intuitivi si colgono al volo.
3. Versatilità Applicativa: Vanno bene sia per la logica formale pura, sia per compiti più “pratici” come classificazioni, gerarchie, tipologie. Pensate alle applicazioni in campi come l’ontologia formale (un modo super strutturato per descrivere la realtà o un dominio di conoscenza).

Come Funzionano? Un Assaggio della Sintassi

Ok, entriamo un po’ più nel tecnico, ma senza farci venire il mal di testa. Un diagramma CL è fatto di due tipi di elementi:

• Elementi Strutturali: Sono l’ossatura del diagramma, uguali per tutti. Ci sono i “basics” (le fondamenta, diciamo le caselle più piccole in basso) e i “composites” (le caselle più grandi che raggruppano quelle sotto).
• Elementi di Contenuto: Sono quelli che mettiamo noi per rappresentare l’informazione. Possono essere cerchi (con un + o un – dentro), linee (dritte o ondulate, chiamate “snake lines”) e incroci (una X su una linea).

Costruire un diagramma significa combinare questi elementi secondo regole precise. Ad esempio, non si possono mettere cerchi a caso sui bordi delle caselle, devono stare dentro. Le linee collegano sempre due “oggetti diagrammatici” (che possono essere cerchi o altre linee). C’è una struttura a griglia ben definita, con righe e colonne, che è fondamentale.

Poi ci sono le Regole di Trasformazione. Sono l’equivalente delle regole di inferenza nella logica simbolica. Ci permettono di manipolare i diagrammi, di passare da uno all’altro in modo logicamente valido. Ce ne sono dieci principali, con nomi tipo “Introduzione Oggetto”, “Eliminazione Linea Dritta”, “Row Shift” (che sfrutta proprio la struttura a righe), “De Morgan” (un classico della logica!), “Unificazione” (per mettere insieme informazioni da più diagrammi) e “Inconsistenza” (cosa succede se il diagramma si contraddice).

Facciamo un esempio veloce sulla regola “Row Shift” (ROW). Immaginate di avere un cerchio “+” in una casella composita grande (diciamo C). Questa regola vi permette di sostituirlo con una linea ondulata (“snake line”) che collega cerchi “+” nelle caselle sottostanti (diciamo f e g) che sono “comprese” da C. E vale anche il viceversa! È una regola potente che cattura le relazioni gerarchiche della struttura.

Dare un Senso ai Disegni: La Semantica Bitstring

Bello disegnare, ma come facciamo a essere sicuri che funzioni tutto correttamente? Qui entra in gioco la semantica bitstring. L’idea è associare a ogni parte del diagramma (basics, composites, cerchi, linee…) una stringa di bit, cioè una sequenza di 0 e 1. La lunghezza della stringa dipende da quanti “basics” ci sono nel diagramma.

Ad esempio, in un diagramma con 4 basics (d, e, f, g), potremmo associare:

• d -> 1000
• e -> 0100
• f -> 0010
• g -> 0001

Una casella composita che comprende, ad esempio, f e g (chiamiamola C) avrebbe la bitstring 0011 (un ‘1’ nelle posizioni di f e g).

Gli elementi di contenuto vengono interpretati con operazioni logiche su queste bitstring:

• Cerchio “+”: rappresenta la bitstring della sua casella.
• Cerchio “-“: rappresenta la negazione (logica) della bitstring.
• Linea dritta: rappresenta la congiunzione (AND logico) delle bitstring collegate.
• Linea ondulata (“snake”): rappresenta la disgiunzione (OR logico).
• Incrocio: rappresenta la negazione.

Usando questa semantica, possiamo definire rigorosamente quando un diagramma “segue logicamente” da un altro (concetto di soddisfacibilità). E la cosa più importante è che abbiamo potuto dimostrare due proprietà fondamentali del nostro sistema (mathcal{C}mathcal{L}_{Full}):

1. Soundness (Correttezza): Se otteniamo un diagramma D partendo da un insieme di diagrammi (varDelta) usando le nostre regole ((varDelta vdash D)), allora D è una conseguenza logica di (varDelta) secondo la semantica bitstring ((varDelta models D)). In pratica: le regole non ci portano a conclusioni sbagliate.
2. Completeness (Completezza): Se un diagramma D è una conseguenza logica di (varDelta) ((varDelta models D)), allora possiamo effettivamente derivare D da (varDelta) usando le nostre regole ((varDelta vdash D)). In pratica: le regole sono abbastanza potenti da farci arrivare a tutte le conclusioni vere.

Queste dimostrazioni (che vi risparmio nei dettagli!) ci danno la certezza che ACLSystem non è solo un bel giocattolo visivo, ma un sistema logico solido e affidabile.

ACLSystem vs. Altri Sistemi Logici e Diagrammatici

Come si colloca ACLSystem rispetto alla logica “tradizionale” e ad altri tipi di diagrammi?

Logica Proposizionale e delle Classi: Come accennato, c’è una forte analogia. I cerchi “+” e “-” possono rappresentare proposizioni vere o false, o l’appartenenza o non appartenenza a una classe. Le linee dritte e ondulate corrispondono a AND e OR. Le regole di trasformazione mimano le regole di deduzione della logica classica (modus ponens, modus tollens, introduzione/eliminazione di connettivi, De Morgan…). È interessante notare che la congiunzione (AND) in (mathcal{C}mathcal{L}_{Full}) si può esprimere in due modi: o semplicemente mettendo due oggetti nello stesso diagramma, o collegandoli esplicitamente con una linea dritta. La regola ROW, interpretata in termini di classi, assomiglia al classico *dictum de omni et nullo* (ciò che vale per tutte le sottoclassi, vale per la classe, e viceversa).

Altri Diagrammi:

• Diagrammi di Venn: Simili perché partono da una struttura base (“primary diagram”). Ma i Venn diventano illeggibili con più di 4-5 termini, mentre i CL scalano meglio. D’altro canto, i Venn mostrano *tutte* le combinazioni possibili dei termini base fin dall’inizio, cosa che i CL non fanno nella loro struttura minima (ma possono rappresentarle aggiungendo elementi di contenuto). I diagrammi KV (Karnaugh-Veitch), usati in elettronica, assomigliano di più alla struttura a griglia dei CL proprio per gestire più variabili.
• Diagrammi di Eulero e a Linee: La struttura gerarchica dei CL ricorda i diagrammi di Eulero a rettangoli (per le inclusioni tipo (d subseteq B)) e i diagrammi a linee (se guardiamo solo i bordi superiori delle caselle).

La caratteristica distintiva dei CL è proprio questa struttura gerarchica di partizione incorporata nel diagramma minimo. Questo li rende particolarmente adatti per rappresentare cose che hanno una struttura intrinsecamente gerarchica: tassonomie biologiche (pensate a Linneo), gerarchie di concetti linguistici, classificazioni bibliotecarie, classi in programmazione orientata agli oggetti. È un ponte tra la logica moderna e le strutture classificatorie tradizionali, un terreno fertile per l’ontologia formale.

Conclusioni e Sguardi al Futuro

Insomma, con (mathcal{C}mathcal{L}_{Full}) abbiamo tirato fuori un sistema di diagrammi che non solo è intuitivo e visivamente accattivante, ma ha anche la stessa potenza espressiva della logica proposizionale standard, con solide basi formali dimostrate dalla sua correttezza e completezza.

E non finisce qui! Le potenzialità sono enormi. Abbiamo usato esempi semplici con pochi “basics”, ma il sistema funziona per diagrammi di qualsiasi dimensione. Si potrebbe pensare a renderlo “dinamico”, permettendo di modificare la struttura base stessa. Si potrebbe estendere per coprire la logica dei predicati o persino le logiche modali (possibilità, necessità), come già intuito da Lange secoli fa. E perché fermarsi a due dimensioni? Si potrebbero immaginare oggetti CL n-dimensionali per rappresentare relazioni complesse tra diverse ontologie.

Se riuscissimo a realizzare tutto questo, forse l’affermazione di Leibniz sul *Cubus Logicus* come “algebra universalis” si rivelerebbe profetica. Il viaggio è appena iniziato, e sono entusiasta di vedere dove ci porteranno questi affascinanti diagrammi!

Fonte: Springer