DFT e Hamiltoniano di Dicke: Un Matrimonio Quantistico tra Luce e Materia!

Ciao a tutti, appassionati di fisica e misteri quantistici! Oggi voglio portarvi con me in un viaggio affascinante nel cuore dell’interazione tra luce e materia, esplorando come uno strumento potentissimo, la Teoria del Funzionale della Densità (DFT), possa essere applicato a modelli fondamentali come l’Hamiltoniano di Dicke. Preparatevi, perché stiamo per addentrarci nel regno della Quantum Electrodynamics (QED), ma con un approccio un po’ diverso!

Perché la QED e perché la DFT?

La QED è la teoria che descrive l’interazione tra particelle cariche (la materia) e il campo elettromagnetico (la luce) a livello quantistico. È incredibilmente precisa, ma quando si tratta di sistemi complessi, come quelli che troviamo nella materia condensata, diventa tremendamente complicata da usare direttamente. Qui entra in gioco la DFT. Nata per affrontare la complessità dei sistemi a molti elettroni in chimica e scienza dei materiali, l’idea geniale della DFT (grazie a Hohenberg e Kohn!) è quella di sostituire la complicatissima funzione d’onda con una variabile ridotta, di solito la densità di particelle. Sorprendentemente, questa densità contiene tutte le informazioni necessarie per descrivere lo stato fondamentale del sistema!

Negli ultimi anni, c’è stato un grande interesse nell’adattare la DFT al dominio della QED non relativistica (parliamo di QEDFT), specialmente usando l’Hamiltoniano di Pauli-Fierz. Questo ci permette di studiare come la luce quantizzata possa modificare le proprietà chimiche e dei materiali. Tuttavia, anche l’Hamiltoniano di Pauli-Fierz è complesso. Per capirci qualcosa di più, spesso si ricorre a modelli semplificati, ma non per questo meno interessanti, presi in prestito dall’ottica quantistica.

Entrano in Scena: Rabi e Dicke

Due modelli paradigmatici sono il modello di Rabi (un singolo sistema a due livelli, come un atomo semplificato, accoppiato a un singolo modo fotonico) e il modello di Dicke (molti sistemi a due livelli accoppiati a un modo fotonico). Nonostante la loro apparente semplicità fisica, nascondono una matematica ricca e non banale. Pensate che solo relativamente di recente si è trovata un’espressione analitica per lo spettro del modello di Rabi!

Nel mio lavoro recente, mi sono concentrato proprio su una generalizzazione del modello di Dicke che permette anche modi fotonici multipli. Questo modello è fantastico perché, pur semplificando la parte “materia”, ci permette di focalizzarci sull’aspetto veramente nuovo della QEDFT: la correlazione tra due sottosistemi fisicamente diversi, materia e luce. È un po’ come studiare una danza complessa concentrandosi sui passi di coppia!

Il Teorema di Hohenberg-Kohn… Rivisitato!

Uno dei primi passi fondamentali è stato dimostrare un teorema di tipo Hohenberg-Kohn per questo sistema. Cosa ci dice? Che le “densità” rilevanti qui non sono solo quelle delle particelle, ma una coppia: la magnetizzazione (che descrive lo stato medio dei sistemi a due livelli) e lo spostamento (legato allo stato medio del campo luminoso). Il teorema afferma che, per uno stato fondamentale, questa coppia di “densità” determina univocamente i potenziali esterni applicati al sistema.

Ma attenzione, c’è una sottigliezza! Questa mappa univoca funziona perfettamente solo se il vettore di magnetizzazione è regolare. È una condizione tecnica, ma essenzialmente ci dice che se la magnetizzazione assume certi valori “speciali” (che formano un insieme di misura nulla, fortunatamente), potremmo avere potenziali diversi che danno origine alla stessa coppia magnetizzazione-spostamento. Immaginate dei triangoli o tetraedri “proibiti” all’interno del cubo delle possibili magnetizzazioni. Se la vostra magnetizzazione cade lì dentro, siete al sicuro!

Alla Ricerca dell’Energia Minima: I Funzionali Densità

Il passo successivo è definire i funzionali densità. L’idea è minimizzare l’energia “interna” del sistema mantenendo fissa la coppia (magnetizzazione, spostamento). Questo porta al funzionale di Levy-Lieb (`F_LL`), definito come una ricerca vincolata (constrained search) sullo spazio degli stati quantistici puri (funzioni d’onda).

Abbiamo dimostrato alcune cose importanti su `F_LL`:

• Esiste sempre uno stato che minimizza l’energia per una data coppia (magnetizzazione, spostamento). Questo è cruciale e lo chiamiamo N-rappresentabilità: ogni coppia “ragionevole” può essere realizzata da almeno una funzione d’onda.
• Gli stati che minimizzano `F_LL` (gli ottimizzatori) soddisfano un’equazione di Schrödinger! Non sono necessariamente lo stato fondamentale del sistema completo (con i potenziali esterni), ma sono comunque autostati a bassa energia.
• Abbiamo derivato delle relazioni utili, come una “regola dello spostamento” che lega funzionali con spostamenti diversi e una relazione di tipo viriale.

La Connessione Adiabatica: Accendere l’Interazione

Un altro strumento potente che abbiamo formulato è la connessione adiabatica. Immaginate di poter variare con continuità la forza dell’accoppiamento luce-materia (il parametro `Λ` nel nostro Hamiltoniano), partendo da zero (nessuna interazione) fino al valore reale. La connessione adiabatica ci permette di esprimere il funzionale `F_LL` del sistema interagente in termini del funzionale del sistema non interagente (che è molto più semplice!) più un integrale che dipende dall’interazione lungo questo “percorso adiabatico”. Questo apre la strada allo sviluppo di approssimazioni, un po’ come si fa nella DFT standard per il funzionale di scambio-correlazione.

Oltre gli Stati Puri: Il Funzionale di Lieb

E se il nostro sistema non fosse in uno stato puro, ma in una miscela statistica? Qui entra in gioco il funzionale di Lieb (`F_L`), dove la ricerca vincolata viene estesa alle matrici densità (stati misti). Questo funzionale è per sua natura convesso e gode di proprietà matematiche molto belle. Abbiamo dimostrato che:

• Anche per `F_L` esiste sempre un ottimizzatore (una matrice densità).
• `F_L` è l’inviluppo convesso di `F_LL`, il che significa `F_L ≤ F_LL`.
• Grazie alla convessità, possiamo usare potenti strumenti dell’analisi convessa, come il sottodifferenziale, che è legato ai potenziali esterni. Questo ci ha permesso di dimostrare che ogni coppia (magnetizzazione, spostamento) all’interno del range possibile è ensemble v-rappresentabile: esiste sempre un potenziale esterno per cui una miscela di stati fondamentali ha quella data magnetizzazione e spostamento.
• Anche per `F_L` valgono la regola dello spostamento e una relazione viriale.

Il Caso Speciale (ma Illuminante) del Modello di Rabi

Le cose diventano ancora più interessanti quando riduciamo il modello al caso più semplice: il modello di Rabi quantistico (N=1, M=1). Qui, un singolo sistema a due livelli interagisce con un singolo modo fotonico. Grazie a proprietà note di questo modello (come la non-degenerazione e la positività dello stato fondamentale), siamo riusciti a dimostrare risultati ancora più forti:

• Unica v-rappresentabilità per stati puri: Per ogni coppia (magnetizzazione, spostamento) con magnetizzazione diversa da ±1, esiste un unico potenziale esterno (v, j) tale che l’unico stato fondamentale del sistema ha esattamente quella magnetizzazione e quello spostamento. Inoltre, questo stato fondamentale è anche l’unico ottimizzatore per `F_LL`. Questo è un risultato potentissimo! I casi con magnetizzazione ±1, invece, non sono v-rappresentabili.
• Coincidenza dei funzionali: Nel caso Rabi, `F_L` e `F_LL` coincidono su tutto il dominio! Questo significa che non c’è bisogno di considerare stati misti per trovare l’energia minima.
• Differenziabilità: Il funzionale `F_LL` (e quindi `F_L`) è differenziabile per magnetizzazioni diverse da ±1. Questo è notevole, perché nella DFT standard per sistemi elettronici, i funzionali analoghi sono spesso discontinui.

Questi risultati per il modello di Rabi sono entusiasmanti perché mostrano che, almeno in questo contesto QED semplificato, la struttura matematica della DFT è ancora più “bella” e ben comportata di quanto si potesse pensare. Ci dà una solida base matematica per costruire approssimazioni e comprendere meglio l’affascinante danza quantistica tra luce e materia.

Certo, il modello di Dicke (e ancor più quello di Pauli-Fierz) presenta sfide aggiuntive, ma questo lavoro sui modelli più semplici ci fornisce intuizioni preziose e strumenti matematici rigorosi per continuare l’esplorazione. Il viaggio nella QEDFT è appena iniziato!

Fonte: Springer