Medie di Nörlund e Serie di Walsh-Fourier: Il Ballo della Convergenza Ristretta in 2D

Ciao a tutti, appassionati di matematica e dintorni! Oggi voglio portarvi con me in un viaggio affascinante nel mondo dell’analisi armonica, un campo della matematica che studia come “smontare” funzioni complesse in pezzi più semplici, un po’ come scomporre un brano musicale nelle sue singole note. Nello specifico, parleremo di un argomento piuttosto tecnico ma intrigante: la convergenza ristretta delle medie di Nörlund bidimensionali per le serie di Walsh-Fourier.

Lo so, sembra un titolo da mal di testa, ma datemi fiducia! Cercherò di renderlo il più colloquiale e interessante possibile. Immaginate di avere una funzione, magari che descrive un segnale o un’immagine, e di volerla approssimare usando delle somme speciali chiamate serie di Fourier. Le serie di Walsh-Fourier sono una variante che usa un sistema di funzioni “a blocchi” (le funzioni di Walsh) invece delle classiche onde sinusoidali.

Cosa sono le Medie di Nörlund?

Ora, quando si lavora con queste serie, non sempre le somme parziali “convergono” bene alla funzione originale. Qui entrano in gioco le medie di Nörlund. Pensatele come delle medie “pesate” delle somme parziali della serie. Invece di dare lo stesso peso a tutte le somme, usiamo delle sequenze di numeri non negativi ({q_k}) (o ({p_k})) per decidere quanto “conta” ciascuna somma parziale nel calcolo della media finale (t_n(f)). La somma totale dei pesi usati è (Q_n = sum_{k=0}^{n-1} q_k). Affinché questo metodo di “sommabilità” sia utile (regolare), richiediamo che (q_0 > 0) e che (Q_n) tenda all’infinito al crescere di (n).

Queste medie sono state studiate a fondo nel caso unidimensionale. Ad esempio, si è capito come la loro velocità di approssimazione dipenda dalle proprietà della funzione e dalla sequenza ({q_k}) scelta. Un risultato interessante riguarda la norma (L_1) dei cosiddetti “kernel” di Nörlund (F_n^{(q)}) (che sono legati alle medie tramite convoluzione: (t_n^{(q)}(f) = f * F_n^{(q)})). Se la sequenza ({q_k}) è monotona non decrescente, queste norme sono uniformemente limitate, un po’ come accade per le famose medie di Fejér (che sono un caso particolare delle medie di Nörlund con (q_k equiv 1)). Se invece ({q_k}) è monotona non crescente, la situazione è più complessa e la norma dipende dalla rappresentazione binaria di (n).

Il Salto al Bidimensionale: Sfide e Restrizioni

Le cose si fanno decisamente più intricate quando passiamo da una a due dimensioni. Immaginate ora di lavorare non su un intervallo ({mathbb I} = [0, 1)), ma su un quadrato ({mathbb I}^2 = [0, 1) times [0, 1)). Le medie di Nörlund bidimensionali (t_{n,m}^{(q,p)}(f)) sono definite usando due sequenze ({q_k}) e ({p_k}) e coinvolgono le somme parziali bidimensionali (S_{k,l}(f)). Il kernel bidimensionale (F_{n,m}^{(q,p)}) è semplicemente il prodotto cartesiano dei kernel unidimensionali: (F_{n,m}^{(q,p)} = F_n^{(q)} otimes F_m^{(p)}).

La domanda cruciale è: queste medie bidimensionali convergono alla funzione originale (f) quando (n) e (m) diventano grandi? E come?
Nel caso delle medie di Fejér bidimensionali, Móricz, Schipp e Wade hanno dimostrato nel 1992 che c’è convergenza quasi ovunque (cioè, tranne al più su un insieme di misura nulla) se la funzione (f) appartiene a uno spazio specifico ((Llog^+ L({mathbb I}^2))) e se entrambi gli indici (n, m) tendono all’infinito (convergenza nel senso di Pringsheim). Tuttavia, Gát ha mostrato che questo risultato è “ottimale”, nel senso che non si può rilassare troppo la condizione sulla funzione (f).

Ma cosa succede se imponiamo una restrizione sul modo in cui (n) e (m) tendono all’infinito? Invece di lasciarli liberi, li costringiamo a muoversi all’interno di un “cono” o, più in generale, di un “insieme simile a un cono” (cone-like set) (L)? Questo tipo di convergenza è chiamata convergenza ristretta.

Spazi di Hardy e Operatori Massimali

Per studiare queste questioni di convergenza, gli analisti usano strumenti potenti come gli spazi di Hardy diadici (H_p({mathbb I}^2)) e gli operatori massimali. Uno spazio di Hardy (H_p) (con (0 < p le 1)) è un po' come lo spazio (L_p) delle funzioni la cui p-esima potenza è integrabile, ma cattura meglio certi comportamenti oscillatori delle funzioni. L'operatore massimale (t^*(f)) associato a un metodo di sommabilità (t_n(f)) misura "il massimo valore" che le medie possono assumere al variare di (n). Se questo operatore massimale è "limitato" (cioè, mappa funzioni da (H_p) a (L_p) senza "ingrandirle" troppo), allora di solito si riesce a dimostrare la convergenza quasi ovunque delle medie (t_n(f)). Nel nostro contesto bidimensionale e ristretto, introduciamo un operatore massimale ristretto (T_textrm{CLR}^{(q,p),*}(f)), che calcola il massimo delle medie (|t_{n,m}^{(q,p)}(f)|) solo per gli indici ((n,m)) che appartengono all'insieme (L). Questo insieme (L) è definito tramite una funzione speciale (gamma), chiamata Cone-like Restriction Function (CRF), che è strettamente crescente e soddisfa certe condizioni tecniche. Questa (gamma) definisce anche uno spazio di Hardy specializzato, (H_p^gamma({mathbb I}^2)), introdotto da Weisz, dove il comportamento delle “martingale” (sequenze di approssimazioni della funzione) segue l’andamento di (gamma).

Il Cuore della Questione: Limitatezza e Convergenza

Il lavoro discusso nell’articolo originale si concentra proprio sulla limitatezza di questo operatore massimale ristretto (T_textrm{CLR}^{(q,p),*}(f)) dallo spazio di Hardy (H_p^gamma({mathbb I}^2)) allo spazio di Lebesgue (L_p({mathbb I}^2)). I risultati dipendono crucialmente dalla monotonia delle sequenze ({q_k}) e ({p_k}).

Un risultato chiave è piuttosto “negativo”: se almeno una delle due sequenze ({q_k}) o ({p_k}) è monotona non crescente, allora l’operatore massimale ristretto (T_textrm{CLR}^{(q,p),*}) non è limitato da (H_{1/2}^gamma({mathbb I}^2)) a (L_{1/2}({mathbb I}^2)). Questo generalizza un risultato unidimensionale di Goginava e ci dice che (p=1/2) è una soglia critica.

E per (p > 1/2)? Qui le cose si fanno interessanti! Se entrambe le sequenze ({q_k}) e ({p_k}) sono monotone non crescenti, l’articolo fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la limitatezza dell’operatore da (H_p^gamma({mathbb I}^2)) a (L_p({mathbb I}^2)) (per (1/2 < p le 1)). Questa condizione coinvolge delle somme legate alle sequenze ({q_k}) e ({p_k}), simili a quelle trovate da Goginava nel caso unidimensionale (le condizioni (13) e (14) nel testo originale). In pratica, le sequenze non devono "decrescere troppo velocemente". Se invece una sequenza è non crescente e l'altra è non decrescente, la condizione necessaria per la limitatezza (per (1/2 < p le 1)) riguarda solo la sequenza non crescente.

Il Principio di Trasferimento

Come si dimostrano questi risultati di limitatezza nel caso bidimensionale ristretto? Spesso si usa un potente strumento chiamato principio di trasferimento. L’idea, sviluppata da Simon e generalizzata da Nagy e Salim per insiemi “cone-like”, è che se gli operatori massimali *unidimensionali* associati alle sequenze ({q_k}) e ({p_k}) hanno certe buone proprietà (come la limitatezza (L_1) dei kernel e una proprietà chiamata “p-quasi-località”), allora l’operatore massimale *bidimensionale ristretto* eredita la limitatezza da (H_p^gamma) a (L_p) per (p) sufficientemente grande (maggiore di una certa soglia (p_0) che dipende dalle proprietà unidimensionali).

Nel nostro caso, per sequenze ({q_k}) e ({p_k}) monotone non crescenti che soddisfano le condizioni menzionate prima (le (13) e (14)), si può dimostrare che gli operatori unidimensionali associati sono “p-quasi-locali” per (p > 1/2). Applicando il teorema di trasferimento di Nagy e Salim, si ottiene la sufficienza della condizione per la limitatezza dell’operatore bidimensionale ristretto (T_textrm{CLR}^{(q,p),*}) da (H_p^gamma) a (L_p) per (p > 1/2).

Cosa Implica Tutto Questo? Convergenza Quasi Ovunque!

La limitatezza dell’operatore massimale ristretto (in particolare, la sua proprietà di essere di “tipo debole (1,1)”, che segue dalla limitatezza (H_p^gamma to L_p) per (p>1/2) e da un teorema di interpolazione) ha una conseguenza molto importante: garantisce la convergenza quasi ovunque delle medie di Nörlund bidimensionali (t_{n,m}^{(q,p)}(f)) verso la funzione (f) (per funzioni (f in L_1({mathbb I}^2))), a patto che gli indici ((n,m)) si muovano all’infinito rimanendo dentro l’insieme “cone-like” (L) e che le sequenze ({q_k}), ({p_k}) (se non crescenti) soddisfino le famose condizioni (13) e (14).

Applicazioni: Ritroviamo Vecchi Amici

Questi risultati generali si possono applicare a casi specifici ben noti:

• Medie di Fejér (o (C,1)): Si ottengono ponendo (q_k = p_k equiv 1). Le condizioni (13) e (14) sono soddisfatte se e solo se (p > 1/2). Questo recupera il risultato classico (Weisz, Gát) sulla limitatezza dell’operatore massimale ristretto di Fejér per (p > 1/2).
• Medie di Cesàro (C, α): Si ottengono con (q_k = A_k^{alpha_1-1}) e (p_k = A_k^{alpha_2-1}) con (0 < alpha_1, alpha_2 < 1). Queste sequenze sono monotone non crescenti. Le condizioni (13) e (14) sono soddisfatte se e solo se (p > max{1/(1+alpha_1), 1/(1+alpha_2)}). Anche questo recupera un risultato noto (Weisz).
• Un caso “misto”: Se prendiamo una sequenza di tipo Cesàro (non crescente) e una sequenza “logaritmica” (p_k = 1/k) (anch’essa non crescente), si scopre che la condizione (14) per la sequenza logaritmica non è soddisfatta per (p=1). Di conseguenza, il teorema ci dice che l’operatore massimale ristretto corrispondente non è limitato da (H_1^gamma) a (L_1), e nemmeno per (p<1).

In Conclusione

Eccoci alla fine del nostro viaggio! Abbiamo visto come lo studio della convergenza delle medie di Nörlund bidimensionali per le serie di Walsh-Fourier diventi particolarmente interessante (e complesso!) quando si introduce una restrizione “cone-like” sugli indici. La monotonia delle sequenze ({q_k}) e ({p_k}) gioca un ruolo fondamentale, specialmente la distinzione tra non crescenti e non decrescenti. La soglia (p=1/2) emerge come critica per la limitatezza degli operatori massimali ristretti negli spazi di Hardy (H_p^gamma), soprattutto quando le sequenze sono non crescenti.

Abbiamo scoperto che esistono condizioni precise (le (13) e (14)) che determinano se questi operatori sono limitati per (p > 1/2) nel caso di sequenze non crescenti, e che questa limitatezza è la chiave per garantire la convergenza quasi ovunque delle medie lungo percorsi ristretti. Il tutto è reso possibile da potenti strumenti come gli spazi di Hardy diadici specializzati e i principi di trasferimento.

Spero che questa incursione nell’analisi armonica vi abbia incuriosito almeno un po’. È un esempio di come la matematica cerchi di capire a fondo il comportamento, a volte sottile e sorprendente, di oggetti apparentemente astratti come le serie e le loro medie. Affascinante, vero?

Fonte: Springer