Stringhe Quantistiche e Ordini Nascosti: Viaggio al Cuore delle Transizioni di Fase Topologiche!

Amici scienziati e curiosi di ogni sorta, preparatevi per un’avventura affascinante nel mondo un po’ bizzarro ma incredibilmente intrigante della fisica della materia condensata! Oggi voglio parlarvi di qualcosa che mi ha tenuto incollato alla sedia (e al supercomputer!) per un bel po’: i parametri di stringa di Fredenhagen-Marcu (FM) e il loro comportamento un po’ da primadonna quando si trovano nel bel mezzo di transizioni di fase topologiche, soprattutto quando emergono delle misteriose simmetrie di forma superiore. Sembra un titolo da film di fantascienza, vero? E in un certo senso, lo è!

Ma cos’è tutto questo “ordine topologico”?

Immaginate di avere a che fare con materiali le cui proprietà non dipendono dai dettagli microscopici, come la forma esatta di un buco in una ciambella non ne cambia la natura di “ciambella” (ha sempre un buco!). Questi sono, in soldoni, le fasi topologiche della materia. Studiarle è una vera sfida perché non si lasciano descrivere dai soliti parametri d’ordine locali, quelli che usiamo per, diciamo, un magnete. No, qui servono strumenti più sofisticati, come i parametri d’ordine di stringa non locali. Fredenhagen e Marcu ne hanno proposto uno particolarmente ingegnoso, l’FM appunto, per scovare l’ordine topologico e il cosiddetto “deconfinamento” in certi modelli.

Il problema, o meglio, la domanda che ci siamo posti è: questo parametro di stringa FM è davvero un “buon” parametro d’ordine? Mi spiego meglio. Di solito, i parametri d’ordine si basano su simmetrie ben definite del sistema. L’FM, invece, è un po’ un outsider: non si appoggia a simmetrie interne esatte dei modelli su reticolo ed è una funzione non lineare degli stati fondamentali. Questo significa che, a priori, non c’è garanzia che si comporti “bene”, cioè che sia una misura affidabile e quantitativa, specialmente vicino ai punti critici di una transizione di fase. Sarà liscio e continuo come ci si aspetterebbe, o farà i capricci?

La nostra indagine: iPEPS e il Codice Torico sotto torchio

Per vederci chiaro, ci siamo rimboccati le maniche e abbiamo deciso di mettere alla prova il parametro di stringa FM. Come? Studiando il suo comportamento nel modello del codice torico in un campo magnetico. Questo modello è un po’ il nostro “topo da laboratorio” preferito per esplorare l’ordine topologico. Abbiamo usato una tecnica numerica potentissima chiamata iPEPS (infinite Projected Entangled Pair States) per calcolare direttamente il parametro FM nel limite di stringhe infinitamente lunghe. Pensate agli iPEPS come a un modo super intelligente per descrivere stati quantistici complessi su reticoli infiniti, ottimizzandoli per trovare lo stato di minima energia.

E i risultati? Sorprendenti! Abbiamo scoperto che il parametro di stringa FM mostra un comportamento di scaling universale vicino ai punti critici delle transizioni di condensazione di carica. In pratica, si comporta come un vero e proprio parametro d’ordine, con tanto di esponenti critici che seguono le regole dettate dalle classi di universalità, come la famosa classe di universalità (2+1)D Ising*. Questo è un risultato importantissimo, perché dimostra che, nonostante la sua natura “non convenzionale”, il parametro FM è quantitativamente affidabile.

Il ruolo cruciale delle simmetrie emergenti

C’è un “ma”, ed è un “ma” grosso come una casa. Abbiamo capito che il parametro di stringa FM associato alle eccitazioni di carica funziona a meraviglia nel rilevare le transizioni di fase topologiche solo se gli stati fondamentali possiedono una simmetria emergente di Wilson loop di 1-forma. Cosa significa “emergente”? Vuol dire che anche se la simmetria non è esatta nel modello di partenza, essa “emerge” a basse energie, diventando una caratteristica dominante del sistema.

Pensate al diagramma di fase del codice torico (Fig. 1b nel lavoro originale, se siete curiosi!). Ci sono regioni diverse:

• La fase del codice torico (blu): qui entrambe le simmetrie di 1-forma (Wilson loop e ‘t Hooft loop) sono emergenti.
• La regione di condensazione di carica (bianca, o regione di Higgs): qui emerge solo la simmetria di Wilson loop.
• La regione di condensazione di flusso (grigia, o regione confinata): qui emerge solo la simmetria di ‘t Hooft loop.
• Una regione “sfortunata” (rossa) senza nessuna di queste simmetrie emergenti.

Il nostro parametro FM “caricato” funziona bene nelle regioni blu e bianca. Ma se ci avventuriamo nella regione di condensazione di flusso (grigia), dove la simmetria di Wilson loop emergente latita, il parametro FM può diventare discontinuo, saltando da zero a un valore finito anche senza una vera transizione di fase! Peggio ancora, nelle regioni senza la giusta simmetria emergente (rossa e grigia per il nostro FM “caricato”), i calcoli con iPEPS diventano instabili.

Questo ci dice una cosa fondamentale: quando si usa il parametro di stringa FM, bisogna avere una certa conoscenza pregressa delle simmetrie di forma superiore del sistema. Non è uno strumento “universale” da applicare alla cieca. Se sospettiamo una condensazione di flusso, ad esempio, dovremo usare un parametro FM “duale”, costruito con operatori di flusso (operatori X nel nostro caso) e che si appoggi a una simmetria emergente di ‘t Hooft loop.

Avventure numeriche e scoperte multicritiche

Abbiamo analizzato in dettaglio due scenari. Primo, una transizione che ci aspettavamo appartenesse alla classe di universalità (2+1)D Ising*. Ebbene, l’esponente critico ebeta;_FM che abbiamo estratto dal nostro parametro FM era perfettamente compatibile! Un successone.

Poi ci siamo spinti su un terreno più insidioso: un punto multicritico lungo una linea di auto-dualità elettromagnetica del modello. Qui le cose si complicano, perché la transizione può essere descritta da un parametro d’ordine locale (la differenza tra l’aspettativa di operatori X e Z), ma anche dal nostro FM. Curiosamente, i due parametri d’ordine mostrano esponenti critici diversi! Il parametro locale sembra seguire un certo ebeta;_local, mentre il nostro ebeta;_FM ne segue un altro. La cosa intrigante è che entrambi questi valori sono compatibili con una teoria di campo più complessa, la cosiddetta teoria XY*, che potrebbe descrivere questo punto multicritico. Anche se le incertezze numeriche sono ancora un po’ alte per mettere la parola fine alla discussione, è un indizio molto stuzzicante.

Per non farci mancare nulla, abbiamo anche testato il parametro FM su uno “stato del codice torico deformato”. È un modello un po’ più “addomesticato” perché la sua funzione d’onda è nota esattamente, il che semplifica alcuni calcoli analitici, anche se le sue criticità sono, per così dire, dimensionalmente ridotte. Anche qui, nelle regioni giuste (con condensazione di carica e simmetria di Wilson loop emergente), il parametro FM si è comportato egregiamente, confermando la sua affidabilità. E, come previsto, ha mostrato comportamenti anomali e discontinuità nella regione di condensazione di flusso, ribadendo l’importanza della simmetria emergente corretta.

Cosa ci portiamo a casa?

Il messaggio chiave è che il parametro di stringa di Fredenhagen-Marcu, nonostante la sua natura non lineare e la sua indipendenza da simmetrie esatte, può essere un parametro d’ordine quantitativamente ben comportato per le transizioni di fase topologiche associate alla condensazione di carica. Tuttavia, la sua affidabilità è strettamente legata alla presenza di una simmetria emergente di Wilson loop di 1-forma. Senza di essa, attenzione ai risultati!

Questo lavoro apre diverse porte. Innanzitutto, misurare il parametro FM in esperimenti di simulazione quantistica potrebbe fornire nuovi, preziosi insight sulle transizioni di fase topologiche. Poi, c’è tutta la questione di mappare con precisione i confini tra le regioni con diverse simmetrie emergenti. E, naturalmente, l’idea di estendere questi parametri di stringa FM ad altre teorie di gauge su reticolo, o a modelli esotici come i modelli di doppio quantistico di Kitaev o i modelli string-net di Levin-Wen. C’è un intero universo di fisica affascinante che aspetta solo di essere esplorato con questi strumenti!

Insomma, il viaggio nel cuore delle fasi topologiche continua, e i parametri di stringa FM, usati con la dovuta cautela e consapevolezza delle simmetrie sottostanti, si sono rivelati compagni di viaggio preziosi. Chissà quali altri segreti ci aiuteranno a svelare!

Fonte: Springer