Atomi di Lucas: Sveliamo i Segreti Nascosti nelle Sequenze Matematiche!

Ciao a tutti, appassionati di numeri e misteri matematici! Oggi voglio portarvi con me in un viaggio affascinante nel mondo delle sequenze di Lucas e dei loro “mattoni” fondamentali: gli atomi di Lucas. Magari avete già sentito parlare delle sequenze di Lucas, quelle successioni di numeri definite da una regola ricorsiva lineare, un po’ come i cugini più generali dei famosi numeri di Fibonacci. Ma cosa sono esattamente questi “atomi”? E perché dovrebbero interessarci? Beh, preparatevi, perché stiamo per scoprire cose davvero interessanti!

Un’Idea Innovativa: Gli Atomi di Lucas

Tutto è iniziato con un lavoro di Sagan e Tirrell nel 2020. Cercavano un modo nuovo e potente per capire quando certe funzioni razionali combinatorie (immaginate frazioni fatte con termini di sequenze) fossero in realtà dei polinomi “belli e buoni”, con coefficienti interi. Per farlo, hanno introdotto questi “atomi di Lucas”, P_n(s,t), definiti come i fattori irriducibili dei polinomi di Lucas U_n(s,t).

I polinomi di Lucas, U_n(s,t), sono come le sequenze di Lucas ma con due variabili, s e t, al posto di numeri fissi. Sono definiti dalla ricorrenza U_n = sU_n-1 + tU_n-2, partendo da U₀=0 e U₁=1. Sagan e Tirrell hanno mostrato che ogni polinomio di Lucas si può fattorizzare in modo unico come prodotto di questi atomi:

U_n(s,t) = Π_{d|n, d≥2} P_d(s,t)

E la cosa bella è che questi atomi P_n(s,t) sono polinomi in s e t con coefficienti interi non negativi. Fantastico, no? Questo permette di capire facilmente quando una frazione tipo U_n1…U_nk / U_m1…U_mj è un polinomio: basta controllare che ogni atomo al denominatore compaia anche al numeratore, con un esponente uguale o maggiore!

Una Definizione Alternativa (e Più Furba!)

La definizione originale di Sagan e Tirrell usava una mappa chiamata Γ e i polinomi ciclotomici Ψ_n(q). Funzionava, ma era un po’ macchinosa. Qui entra in gioco la nostra idea: possiamo definire gli atomi di Lucas in modo molto più naturale e diretto, sfruttando una connessione più profonda con i polinomi ciclotomici omogenei a due variabili, Φ_n(α, β).

Se α e β sono le radici del polinomio caratteristico X² – sX – t = 0 (quindi s = α + β e t = -αβ), possiamo definire gli atomi di Lucas semplicemente come:

P_n(s,t) = Φ_n(α, β) per n ≥ 2

dove Φ_n(α, β) è l’n-esimo polinomio ciclotomico omogeneo. Questa definizione ci porta esattamente alla stessa fattorizzazione dei polinomi di Lucas vista prima, ma apre la strada a dimostrazioni molto più eleganti e dirette delle proprietà principali degli atomi.

Proprietà Semplificate Grazie alla Nuova Definizione

Vediamo come questa nuova prospettiva semplifica le cose:

• Sono polinomi con coefficienti naturali: Usando la nuova definizione e alcune proprietà delle radici α e β, possiamo dimostrare con passaggi elementari che P_n(s,t) ha sempre coefficienti interi non negativi. Niente mappe complicate, solo algebra pulita!
• Sono irriducibili: Sappiamo che i polinomi ciclotomici omogenei Φ_n(α, β) sono irriducibili sul campo dei numeri razionali Q. Poiché i nostri atomi P_n(s,t) sono esattamente questi polinomi (espressi nelle variabili s e t), ne consegue direttamente che anche gli atomi di Lucas sono irriducibili su Q. Boom! Dimostrazione immediata.
• Formule di riduzione: Anche le formule che legano P_n a P_n/p quando p è un primo che non divide n (analoghe a quelle per i polinomi ciclotomici) diventano quasi banali da dimostrare partendo da Φ_n(α, β).

Insomma, questa definizione alternativa non è solo una curiosità, ma uno strumento potente che rende lo studio degli atomi di Lucas molto più fluido e intuitivo.

Il Mistero Risolto: Le Valutazioni p-adiche

Ora arriva il pezzo forte. Una delle domande lasciate aperte da Sagan e Tirrell, definita “un problema difficile”, era caratterizzare completamente la valutazione p-adica degli atomi di Lucas per un primo p qualsiasi. La valutazione p-adica di un numero intero, v_p(k), ci dice semplicemente quante volte il primo p divide k (l’esponente di p nella fattorizzazione di k). Capire come v_p(P_n(s,t)) varia al variare di n è cruciale per comprendere a fondo la struttura divisibility degli atomi.

Sagan e Tirrell avevano analizzato solo alcuni casi specifici per p=2 e p=3. Noi, invece, siamo riusciti a risolvere il problema generale! Abbiamo fornito una caratterizzazione completa di v_p(P_n(s,t)) per ogni primo p e per ogni coppia di interi (s, t).

Come abbiamo fatto? Abbiamo sfruttato la nostra definizione basata su Φ_n(α, β) e l’abbiamo combinata con risultati noti (e potenti!) sulle valutazioni p-adiche delle sequenze di Lucas classiche, dovuti a matematici come Ballot e Sanna. Un concetto chiave è il rango di apparizione di un primo p nella sequenza U_n, denotato ρ(p, U), che è il più piccolo indice k > 0 tale che p divide U_k. Abbiamo dimostrato che il rango di apparizione di p nella sequenza degli atomi P_n è lo stesso, ρ(p, P) = ρ(p, U) = k, e che v_p(P_k) = v_p(U_k).

Partendo da qui, e usando le formule per v_p(U_n), siamo riusciti, tramite induzione e un po’ di algebra (ok, forse *un bel po’* di algebra e l’inversione di Möbius!), a derivare formule esplicite per v_p(P_n(s,t)) in tutti i casi possibili, a seconda che p divida o meno s, t, e il discriminante Δ = s² + 4t.

Ad esempio, se p ≥ 3 non divide t e k = ρ(p, U):

• Se p non divide il discriminante Δ, allora v_p(P_n) è 1 se n = kp^h per qualche h ≥ 0, e 0 altrimenti.
• Se p divide Δ (e p ≥ 5), allora v_p(P_n) è 1 se n = p^h per qualche h ≥ 1, e 0 altrimenti.

Abbiamo formule dettagliate anche per p=2 e per i casi in cui p divide s e/o t. È una caratterizzazione completa, un bel risultato che chiude una questione importante!

Sorpresa Finale: Gli Atomi Non Sono Olonomi!

C’è un’ultima scoperta sorprendente che voglio condividere. Le sequenze di Lucas (U_n) sono l’esempio classico di sequenze ricorrenti lineari (ogni termine è combinazione lineare dei due precedenti). Uno potrebbe aspettarsi che anche la sequenza degli atomi (P_n(s,t)), essendo così legata, abbia qualche bella proprietà di ricorrenza. Magari non lineare, ma almeno olonoma (o P-ricorrente), cioè che soddisfi una relazione di ricorrenza lineare i cui coefficienti non sono costanti, ma polinomi in n. Molte sequenze importanti in combinatoria sono olonome.

Ebbene, abbiamo dimostrato che, per s e t interi con t ≠ 0, la sequenza (P_n(s,t))_n≥1 non è olonoma! Non esiste nessuna relazione di ricorrenza polinomiale che questa sequenza soddisfi per n sufficientemente grande.

Come lo abbiamo provato? Usando le nostre formule per le valutazioni p-adiche! Abbiamo mostrato che se la sequenza fosse olonoma, l’insieme degli indici n tali che un primo p (sufficientemente grande) divide P_n(s,t) dovrebbe essere un’unione finita di progressioni aritmetiche (più un insieme finito). Ma le nostre formule per v_p(P_n) mostrano che questo non è vero. L’insieme degli indici n per cui v_p(P_n) > 0 ha una struttura più complessa (legata alle potenze di p e al rango k) che non può essere descritta in quel modo. Contraddizione!

Questo risultato è notevole perché suggerisce che trovare un’interpretazione combinatoria “naturale” per i coefficienti degli atomi di Lucas potrebbe essere molto più difficile di quanto si pensi, dato che molte sequenze combinatorie “belle” sono olonome.

In Conclusione

Spero che questo tuffo negli atomi di Lucas vi abbia incuriosito. Abbiamo visto come una definizione alternativa possa semplificare la teoria, come siamo riusciti a svelare completamente il comportamento delle loro valutazioni p-adiche (risolvendo un problema aperto), e abbiamo scoperto la loro sorprendente natura non-olonoma. La matematica delle sequenze è piena di queste gemme nascoste, e gli atomi di Lucas sono sicuramente una di queste! Chissà quali altri segreti aspettano di essere scoperti…

Fonte: Springer