LA RISPOSTA BREVE
Con una moneta ideale equilibrata, ogni lancio ha il 50% di probabilità di dare testa. Questo non impone un’alternanza con croce né un pareggio dopo pochi tentativi. La probabilità descrive le possibilità e la regolarità delle frequenze su serie molto lunghe.
Partiamo dalle basi
Che cosa significa davvero 50%?
Prima di lanciare una moneta non sai quale faccia uscirà. Nel modello più semplice, testa e croce sono i soli risultati possibili e sono ugualmente probabili. A ciascuno assegniamo quindi una probabilità di uno su due, cioè il 50%.
La parola modello conta: stiamo assumendo una moneta equilibrata e lanci indipendenti, senza considerare il caso in cui resti sul bordo. Non stiamo dicendo che qualunque moneta e qualunque modo di lanciarla rispettino automaticamente queste condizioni.
Fonti: [1][2]Tre lanci, otto storie possibili
Indichiamo testa con T e croce con C. Con tre lanci le sequenze possibili sono TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT e CCC. Nel nostro modello sono otto e hanno tutte la stessa probabilità: una su otto.
La sequenza TTT sembra più speciale di TCT, ma le due sequenze precise sono equiprobabili. Diversa è la domanda: quanto è probabile ottenere esattamente due teste, in qualsiasi ordine? I casi favorevoli sono TTC, TCT e CTT: tre su otto, cioè il 37,5%. Contare le teste e prevedere una sequenza esatta sono problemi diversi.
Fonti: [2]Il lancio successivo non deve compensare
Supponiamo che siano appena uscite cinque teste. Se valgono le ipotesi iniziali, al sesto lancio testa ha ancora probabilità 50%. Indipendenza significa proprio che conoscere i risultati precedenti non modifica la probabilità del prossimo.
Prima di iniziare, sei teste consecutive hanno probabilità una su 64. Dopo averne già osservate cinque, chiedere la probabilità della sesta è un’altra domanda. La rarità della serie completa non crea un obbligo di interromperla.
Fonti: [2]Un piccolo esperimento da leggere bene
Puoi annotare una serie di lanci e, ogni dieci tentativi, dividere il numero di teste per il numero totale di lanci. Il risultato è la frequenza relativa. Per esempio, 13 teste su 20 danno 13 diviso 20, cioè il 65%.
Questo dato descrive ciò che è successo: non dimostra, da solo, che la probabilità teorica fosse sbagliata. Una frequenza osservata e una probabilità assegnata dal modello sono concetti collegati, ma non identici.
Fonti: [1]PER APPROFONDIRE
Un passo più in là
Che cosa promette la legge dei grandi numeri
Per lanci indipendenti con la stessa probabilità, la legge dei grandi numeri dice che, aumentando molto il numero di prove, la frequenza relativa tende al valore teorico. Nel caso della moneta equilibrata, tende al 50%. Non promette che ogni nuovo lancio ci avvicini al pareggio: la frequenza può oscillare e allontanarsi temporaneamente.
Considera due risultati ipotetici: 60 teste su 100 lanci corrispondono al 60%; 520 su 1.000 corrispondono al 52%. Nel secondo caso lo scarto rispetto a metà dei lanci è più grande in valore assoluto, 20 anziché 10, ma più piccolo in percentuale. È la proporzione che conta. Questi numeri illustrano il concetto, non sono previsioni né risultati di un esperimento realmente svolto.
Fonti: [3]Tre cose da portare con sé
- Il 50% non significa ottenere necessariamente metà teste in ogni breve serie.
- Una sequenza precisa e un certo numero di teste sono eventi diversi.
- La legge dei grandi numeri riguarda le frequenze relative, non una compensazione obbligatoria al prossimo lancio.
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Le fonti, a portata di clic
Materiali consultati per questo articolo. Le fonti possono essere in inglese.
- 1OpenStax · Rice UniversityStatistics — Terminology
Probabilità teorica, frequenza relativa e interpretazione dei lanci di una moneta.
- 2OpenStax · Rice UniversityContemporary Mathematics — The Binomial Distribution
Prove indipendenti a probabilità costante e conteggio degli esiti; gli esempi con tre e sei lanci sono calcoli illustrativi dell’articolo.
- 3ProbabilityCourseIntroduction to Probability — Law of Large Numbers
Enunciato e ipotesi della legge dei grandi numeri; distinzione tra media osservata e valore atteso.
Testo realizzato con assistenza dell’intelligenza artificiale. Come lavoriamo