Il paradosso del compleanno: perché bastano 23 persone?

Una coincidenza più probabile di quanto sembri

A una cena con 23 persone, quanto è probabile trovare almeno due invitati che festeggiano il compleanno nello stesso giorno? Nel modello classico, poco più della metà: circa il 50,73%. Non occorrono centinaia di ospiti. È il paradosso del compleanno, chiamato così perché sorprende l'intuizione, non perché contenga una contraddizione logica.

Prima di calcolare, però, fissiamo le regole. Confrontiamo giorno e mese, non l'anno di nascita. Trascuriamo il 29 febbraio, consideriamo le altre 365 date ugualmente probabili e supponiamo che il compleanno di una persona non condizioni quello delle altre. Sono ipotesi di lavoro, non una descrizione perfetta di ogni gruppo reale.

Non cerchiamo qualcuno nato nel nostro stesso giorno

Il primo equivoco è cambiare domanda senza accorgersene. Se cerchiamo una persona nata nel nostro stesso giorno, la data da trovare è già fissata. Se cerchiamo due compleanni uguali in tutta la sala, invece, va bene qualsiasi coppia e qualsiasi data: anche due persone che non conosciamo e che festeggiano in un mese diverso dal nostro.

Con 23 invitati, ciascuno può essere confrontato con altri 22. Il prodotto 23 × 22 conta però ogni coppia due volte: Anna con Bruno e Bruno con Anna sono lo stesso confronto. Dividendo per due otteniamo 253 coppie. Le occasioni di coincidenza crescono dunque molto più rapidamente del numero degli invitati.

Questa conta chiarisce la sorpresa, ma non è ancora il calcolo della probabilità. Non basta dividere 253 per 365: le coincidenze possono sovrapporsi. Se tre persone festeggiano nella stessa data, abbiamo tre coppie corrispondenti dentro un unico gruppo. Occorre un metodo che tenga conto di queste sovrapposizioni.

Il trucco: calcolare prima che tutti siano diversi

Immaginiamo che gli invitati entrino uno alla volta. Il primo può avere qualsiasi compleanno. Il secondo, per non creare coincidenze, deve evitare una data: gli restano 364 possibilità su 365. Se i primi due hanno compleanni diversi, il terzo deve evitarne due e dispone di 363 possibilità su 365.

Continuiamo nello stesso modo. Quando entra il ventitreesimo, a condizione che tutti i precedenti abbiano date diverse, le date da evitare sono 22: ne restano 343. Moltiplichiamo le probabilità di questi passaggi per ottenere la probabilità dell'intera sequenza senza coincidenze.

Il prodotto (364/365) × (363/365) × … × (343/365) vale circa 0,4927, cioè il 49,27%. I puntini indicano tutte le frazioni intermedie, con il numeratore che diminuisce di uno. O tutti i compleanni sono diversi, oppure almeno due coincidono: le due possibilità esauriscono i casi. Sottraendo il 49,27% dal 100% troviamo quindi circa il 50,73%. È il metodo dell'evento complementare: studiare prima ciò che accade quando l'evento cercato non si verifica.

Superare la metà non significa avere una garanzia

Applicando lo stesso procedimento, con 22 persone la probabilità è circa il 47,57%; con 23 sale al 50,73%. Il numero 23 è quindi il primo che supera la soglia della metà. Con 30 persone siamo intorno al 70,63%, con 50 al 97,04%. Questi valori sono calcolati dalle medesime ipotesi, non misurati in un particolare elenco di invitati.

In una singola sala di 23 persone potremmo benissimo non trovare nessuna coincidenza. Sarebbe un esito normale, non una smentita della matematica. Inoltre, «almeno due» non significa «esattamente due»: contano anche tre compleanni uguali o più coppie in date differenti.

Per avere una certezza logica, nel calendario semplificato di 365 date servono 366 persone. È come distribuire 366 oggetti in 365 cassetti: almeno un cassetto dovrà contenerne due. Se ammettiamo anche il 29 febbraio, le date possibili diventano 366 e questa garanzia richiede 367 persone. Probabilità elevata e impossibilità del contrario sono cose diverse.