Che cos’è un frattale? Dalla curva di Koch al romanesco

Una forma che ritroviamo cambiando scala

Guardiamo il romanesco della fotografia: le grandi punte coniche sono composte da punte più piccole, che a loro volta mostrano strutture simili. È un buon punto di partenza per capire l’autosomiglianza: una parte richiama la forma dell’insieme quando cambiamo ingrandimento. Nei modelli matematici questa somiglianza può essere esatta; negli oggetti naturali è spesso soltanto approssimata.

La parola frattale, però, non significa semplicemente “qualcosa che si ripete”. Anche un segmento contiene segmenti più piccoli, ma non per questo è un frattale. L’aspetto decisivo è una struttura articolata che continua a rivelare dettagli a scale diverse. Non esiste quindi un criterio affidabile basato soltanto sul colpo d’occhio: una decorazione ripetuta e una struttura frattale non sono automaticamente la stessa cosa.

Una regola semplice: la curva di Koch

Possiamo costruire un esempio senza cercare forme nella natura. Disegniamo un segmento e dividiamolo in tre parti uguali. Togliamo la parte centrale e sostituiamola con due segmenti della stessa lunghezza, disposti come i due lati di una piccola punta triangolare. Ora il percorso comprende quattro segmenti, ciascuno lungo un terzo di quello iniziale.

Ripetiamo la medesima operazione su ciascuno dei quattro segmenti, poi sui sedici ottenuti, e così via. Questa ripetizione di una regola sul risultato precedente si chiama iterazione. A ogni passaggio compaiono punte più piccole: il disegno non viene abbellito liberamente, ma cresce secondo un procedimento preciso.

La lunghezza totale viene moltiplicata ogni volta per quattro terzi. Partendo da un segmento lungo una unità, i primi valori sono circa 1,33, poi 1,78, poi 2,37. Sono calcoli del modello, non misurazioni di una costa. Proseguendo senza fine, la lunghezza cresce senza limite, mentre gli estremi del percorso restano gli stessi.

Il disegno sul foglio non è il limite matematico

La curva di Koch ideale è ciò a cui conduce il procedimento continuato indefinitamente. Qualunque figura stampata, invece, si ferma dopo un numero finito di passaggi: alla fine ci sono segmenti che non abbiamo ulteriormente suddiviso. Con una lente abbastanza potente troveremmo quei tratti lisci, oppure i pixel dello schermo.

Applicando la costruzione ai tre lati di un triangolo equilatero si ottiene il celebre fiocco di neve di Koch. Il suo contorno presenta la stessa organizzazione di punte su punte. La differenza tra un’approssimazione finita e l’oggetto ideale non è una sottigliezza: impedisce di attribuire a un’immagine materiale tutti i comportamenti del modello infinito.

Perché la lunghezza di una costa dipende dal righello

Immaginiamo di seguire su una carta il bordo di una costa con un righello molto lungo. Molte piccole insenature vengono saltate. Con un righello più corto seguiamo più rientranze e il percorso misurato può aumentare. La domanda “quanto è lunga?” richiede quindi anche una precisazione sulla scala e sul metodo della misura.

Mandelbrot affrontò questo problema in un articolo del 1967: molte curve geografiche mostrano un’autosomiglianza statistica. Non significa che ogni baia sia la copia esatta di un’altra. Significa che certi caratteri dell’irregolarità si ritrovano, in termini complessivi, cambiando scala. La geometria frattale permette di descrivere questa complessità, anziché cercare soltanto una linea regolare che la sostituisca.

Il romanesco cresce: non esegue un disegno infinito

Per spiegare la pianta, riconoscere una somiglianza geometrica non basta: occorre studiarne lo sviluppo. Una ricerca pubblicata nel 2021, presentata dal Laboratoire de physiologie cellulaire et végétale, ha combinato biologia e modelli matematici. Il lavoro collega la forma dei cavolfiori a gemme che avviano un programma floreale ma non completano la formazione dei fiori, producendo invece nuovi assi che reiterano il processo.

Nel romanesco la produzione di nuove gemme accelera: questo contribuisce alle caratteristiche forme coniche. La ripetizione visibile nasce dunque da processi di crescita e regolazione biologica. Chiamarla “frattale” mette in risalto una proprietà della struttura; non sostituisce la spiegazione di come la pianta la produce.

Inoltre, gli oggetti naturali manifestano autosomiglianza soltanto entro intervalli limitati di scala. Non possiamo ingrandire una punta del romanesco per sempre e aspettarci altri cavoli completi. Questa distinzione tra regola ideale e organismo reale è essenziale quanto la somiglianza che ci ha incuriositi.