Sciami, Colonie e Caos Controllato: Come l’Ambiente Scolpisce i Gruppi Viventi!

Vi siete mai chiesti come fanno gli stormi di uccelli a muoversi all’unisono, o come le cellule si organizzano per formare tessuti complessi durante lo sviluppo embrionale? O ancora, come fanno le muffe mucillaginose a formare quelle incredibili strutture aggregate? Beh, io sì! E da un po’ di tempo, insieme a tanti colleghi, mi sono immerso nello studio di questi affascinanti fenomeni di aggregazione biologica. Per noi scienziati, uno strumento potentissimo per capirci qualcosa sono le cosiddette equazioni di aggregazione-diffusione.

Immaginatele come delle ricette matematiche che cercano di spiegare come i movimenti collettivi degli organismi portino alla formazione di schemi e gruppi nello spazio. L’idea di base è che gli organismi abbiano due “spinte” principali nel loro movimento: una è l’attrazione verso i propri simili (quella che chiamiamo auto-attrazione, riferita alla popolazione, non all’individuo egoista!), che li porta a stare insieme. L’altra è un aspetto più “casuale”, diffusivo, che rappresenta tutte quelle altre attività come la ricerca di cibo o l’esplorazione del territorio.

Il Piccolo Dettaglio Mancante: Il Mondo Reale!

Ora, c’è un “ma”. La maggior parte degli studi finora si è concentrata su ambienti omogenei, come se questi organismi vivessero in una specie di vuoto perfetto, senza ostacoli o zone più o meno attraenti. Sappiamo tutti che la realtà è ben diversa! L’ambiente gioca quasi sempre un ruolo cruciale. Pensate agli animali che si muovono in base alla disponibilità di cibo, acqua o rifugi. O alle cellule embrionali che si aggregano seguendo gradienti chimici. Insomma, l’ambiente non è una semplice scenografia, ma un attore protagonista!

Ecco perché nel nostro recente lavoro ci siamo chiesti: cosa succede quando inseriamo questa eterogeneità ambientale nelle nostre equazioni di aggregazione-diffusione? Volevamo capire come l’auto-attrazione e le caratteristiche del paesaggio si combinano per dare forma all’uso dello spazio da parte degli organismi.

Semplificare per Capire: Un Modello Matematico ad Hoc

Per cercare di sbrogliare questa matassa, abbiamo iniziato con un modello in una singola dimensione spaziale (immaginate una linea, per capirci). Abbiamo fatto alcune ipotesi per rendere i calcoli trattabili, come ad esempio considerare una diffusione “quadratica” (un tipo specifico di movimento casuale) e un ambiente che potesse essere descritto come una somma di onde (una serie di Fourier, per i più tecnici). In queste condizioni, sorpresa delle sorprese, siamo riusciti a trovare delle espressioni analitiche esatte per le soluzioni stazionarie del sistema, cioè per come si dispongono gli organismi una volta che tutto si è “calmato”.

Ma come facciamo a sapere quale, tra le tante possibili configurazioni stabili, è quella che vedremo davvero in natura (o nelle nostre simulazioni al computer)? Qui entra in gioco un concetto chiamato funzionale di energia. In pratica, cerchiamo la configurazione che minimizza questa “energia”. È un po’ come una pallina che rotola fino a fermarsi nel punto più basso di una conca. Questo procedimento di minimizzazione dell’energia ci permette di prevedere rapidamente lo schema di aggregazione più probabile, senza dover fare lunghe e complesse simulazioni numeriche delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE, per gli amici).

Un Caso Studio: L’Isola del Tesoro (o delle Risorse)

Per mettere alla prova il nostro metodo, abbiamo considerato un caso semplice ma emblematico: un ambiente con un singolo “ciuffo” di risorse attraenti. Potrebbe essere un’area ricca di cibo per un gruppo di animali, o una sorgente di un segnale chimico per delle cellule. L’obiettivo era districare gli effetti dell’attrazione verso le risorse da quelli dell’attrazione tra simili sulla forma e dimensione dell’aggregato finale.

E qui sono emerse un paio di scoperte piuttosto controintuitive, di quelle che ti fanno dire “Ma dai?!”:

• Abbiamo osservato una dipendenza non monotonica tra la larghezza del “ciuffo” di risorse e la larghezza dell’aggregato di organismi. In parole povere, non è detto che risorse più concentrate portino sempre ad aggregati più stretti. A volte, se le risorse sono troppo concentrate, l’aggregato può risultare leggermente più largo di quanto ci si aspetterebbe!
• Quando l’attrazione per le risorse è molto forte, abbiamo notato una correlazione positiva tra la forza dell’auto-attrazione e la larghezza dell’aggregato. Di solito, ci si aspetta che una maggiore attrazione tra simili porti a gruppi più compatti. Invece, in presenza di una forte calamita ambientale, aumentare l’istinto di gruppo può, paradossalmente, allargare un po’ l’aggregazione.

Questi risultati, ottenuti analiticamente, li abbiamo poi verificati con simulazioni numeriche, che hanno confermato le nostre previsioni. È affascinante vedere come matematica e realtà (simulata) vadano a braccetto!

E Se Cambiamo le Regole del Gioco? Oltre la Matematica Semplificata

Certo, le semplificazioni come la diffusione quadratica o l’uso di specifici “kernel” (funzioni che descrivono come gli organismi si “sentono” a distanza) sono utili per ottenere formule esatte, ma la biologia è spesso più complessa. Ad esempio, la diffusione lineare è forse più “naturale” per descrivere il movimento di molti organismi. E il kernel di Laplace, pur comodo matematicamente, non è l’unica opzione.

Quindi, ci siamo chiesti: i nostri risultati “strani” valgono anche in contesti un po’ più realistici? Abbiamo allora acceso i computer e fatto un po’ di esplorazioni numeriche. La buona notizia è che la dipendenza non monotonica tra larghezza delle risorse e larghezza dell’aggregato sembra essere un fenomeno piuttosto robusto: l’abbiamo ritrovata anche usando un kernel diverso (il “top-hat”, molto popolare in biologia) e passando dalla diffusione quadratica a quella lineare. Sembra quindi una caratteristica genuina delle aggregazioni biologiche, non un semplice “trucco” del modello matematico semplificato.

Invece, la seconda scoperta controintuitiva – l’allargamento dell’aggregato con l’aumento dell’auto-attrazione in presenza di forti risorse – non è emersa così chiaramente in questi scenari più complessi. Potrebbe essere una caratteristica più specifica del modello con approssimazione del quarto ordine che abbiamo usato per l’analisi matematica.

Cosa Ci Dice Tutto Ciò sulla Natura?

Ma perché avviene questa strana dipendenza non monotonica? Sembra che, quando il “ciuffo” di risorse diventa molto stretto, l’aggregato degli organismi assuma una forma quasi a “due strati”: una parte centrale molto stretta che segue le risorse, e una base più larga dove l’auto-attrazione tra gli organismi gioca un ruolo dominante, mantenendo una certa ampiezza “naturale” del gruppo. Quando le risorse sono più ampie, invece, questi due effetti sembrano fondersi più armoniosamente.

Queste differenze nei pattern potrebbero aiutarci a capire meglio quando, in fenomeni di aggregazione, stiamo osservando una combinazione di segnali esterni (come quelli chimici per le cellule) e di pura auto-organizzazione. È un passo avanti per districare le cause dei pattern indotti dall’eterogeneità ambientale da quelli che emergono spontaneamente da instabilità tipo “Turing” (un altro famoso meccanismo di formazione di pattern).

Verso Orizzonti Più Complessi

Questo studio, sebbene focalizzato su una singola specie, getta le basi per comprendere sistemi multi-specie in ambienti eterogenei. Pensate alle dinamiche preda-predatore: come cambiano se la preda ha dei rifugi specifici (eterogeneità ambientale)? O come animali territoriali si dividono lo spazio in aree con risorse abbondanti o scarse? È chiaro che l’ipotesi di un ambiente omogeneo è una forte limitazione se vogliamo che i nostri modelli siano davvero utili per interpretare il mondo reale.

In conclusione, il nostro viaggio nel mondo dell’aggregazione-diffusione in ambienti non uniformi ci ha mostrato, ancora una volta, quanto possa essere complessa e sorprendente l’interazione tra il comportamento collettivo degli organismi e le caratteristiche del loro habitat. E, a volte, la matematica ci regala delle vere e proprie perle di intuizione, aprendo la strada a nuove domande e scoperte. Non vedo l’ora di scoprire cosa ci riserverà il prossimo “esperimento” matematico!

Fonte: Springer